已知:直线l1与直线l2平行.且它们之间的距离为3.A.B是直线l1上的两个定点.C.D是直线l2上的两个动点.AB=CD=6.连接AC.BD.BC.将△ABC沿BC折叠得到△A1BC．(1)当A1与D重合时.四边形ABDC是什么特殊四边形.为什么?(2)当A1与D不重合时.连接A1D.则A1 D∥BC.此时若以A1.B.C.D为顶点的四边形为矩形.且矩形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．已知：直线l₁与直线l₂平行，且它们之间的距离为3，A，B是直线l₁上的两个定点，C，D是直线l₂上的两个动点（点C在点D的左侧），AB=CD=6，连接AC、BD、BC，将△ABC沿BC折叠得到△A₁BC．（如图1）
（1）当A₁与D重合时（如图2），四边形ABDC是什么特殊四边形，为什么？
（2）当A₁与D不重合时，连接A₁D，则A₁ D∥BC（不需证明），此时若以A₁，B，C，D为顶点的四边形为矩
形，且矩形的边长分别为a，b，求（a+b）²的值．

分析（1）根据折叠的性质得到AC=CD，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC是菱形；
（2）讨论：当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S_△A1CB=S_△ABC=6，则S_矩形A1CBD=12，即ab=12，由BA₁=BA=6，根据勾股定理得到a²+b²=36，然后根据完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=3，而CD=6，所以（a+b）²=（3+6）²．．

解答解：（1）四边形ABDC是菱形；
∵AB=CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵A₁与D重合时，
∴AC=CD，
∴四边形ABDC是菱形；
（2）当以A₁，B，C，D为顶点的四边形为矩形如图1时，连结A₁B，S_△A1CB=S_△ABC=$\frac{1}{2}×6×3=9$
∴S_矩形A1CBD=18，即ab=18，而在Rt△BCD中，
∴a²+b²=CD²=36
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=36+36=72，
当以A₁，B，C，D为顶点的四边形为矩形如图2时，
∴（a+b）²=（3+6）²=81，
∴（a+b）²的值为72或81．

点评本题考查了四边形综合题：熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质；会运用折叠的性质确定相等的线段和角．

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