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(2007•上海)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,CA平分∠BCD,DE∥AC,交BC的延长线于点E,∠B=2∠E.
(1)求证:AB=DC;
(2)若tanB=2,AB=,求边BC的长.

【答案】分析:(1)要求证:AB=DC,即证明梯形是等腰三角形,只要证明∠B=∠BCD就可以.
(2)作AF⊥BC,DG⊥BC,垂足分别为F,G,则BC=BF+FG+GC,因而本题就可以转化为求BF,FG,GC的长度的问题,根据勾股定理就可以求出.
解答:(1)证明:∵DE∥AC,
∴∠BCA=∠E.(1分)
∵CA平分∠BCD,
∴∠BCD=2∠BCA,(1分)
∴∠BCD=2∠E,(1分)
又∵∠B=2∠E,
∴∠B=∠BCD.(1分)
∴梯形ABCD是等腰梯形,即AB=DC.(2分)

(2)解:如图,作AF⊥BC,DG⊥BC,垂足分别为F,G,则AF∥DG.
在Rt△AFB中,tanB=2,∴AF=2BF.(1分)
又∵AB=,且AB2=AF2+BF2
∴5=4BF2+BF2,得BF=1.(1分)
同理可知,在Rt△DGC中,CG=1.(1分)
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.
又∵∠ACB=∠ACD,∴∠DAC=∠ACD,∴AD=DC.∵DC=AB=,∴AD=.(1分)
∵AD∥BC,AF∥DG,∴四边形AFGD是平行四边形,∴FG=AD=.(1分)
∴BC=BF+FG+GC=2+.(1分)
点评:本题主要考查了等腰三角形的判定方法,证明同一底上的两个底角相等.梯形的问题可以通过作高线转化为直角三角形,与矩形的问题.
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