Question

6．已知关于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）设x₁，x₂为方程的两个实数根，且$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=2m+1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可，∵△=（m+2）²-4×1×（2m-1）=（m-2）²+4，因为m²≥0，可以得到△＞0；
（2）由根与系数的关系，x₁+x₂=m+2，x₁x₂=2m-1，代入$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=2m+1，求得m即可．

解答 （1）证明：∵△=（m+2）²-4×1×（2m-1）
=（m-2）²+4，
而（m-2）²≥0，
故△＞0．
所以方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x₁，x₂为方程的两个实数根，
∴x₁+x₂=m+2，x₁x₂=2m-1，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{m+2}{2m-1}$=2m+1，
解得m=-$\frac{3}{4}$或m=1．

点评 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．
还考查了根的判别式：①当△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，一元二次方程无实数根．