Question

两个长为2，宽为1的矩形ABCD和矩形EFGH如图1所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．
（1）当两个矩形旋转到顶点C，F重合时（如图2），∠DCE=

 

°，点C到直线l的距离等于

 

，α=

 

°；
（2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形EFGH重合部分为正方形时，α=

 

°．

Answer 1

分析：（1）过C作CM⊥DE于M，由CD=FE=DE=2，得到△CDE为等边三角形，则∠DCE=60°，CM=

3

2

DE=

3

，得到∠1=180°-∠ADC-∠CDE=180°-90°-60°=30°，得到α=30°；
（2）由四边形MFNC为正方形，而矩形ABCD绕点D顺时针旋转和矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．得到NF=NC，∠FNC=90°，则∠DNE=90°，ND=NE，得到∠NDE=∠NED=45°，所以∠1=180°-90°-45°=45°，即α=45°．

解答：解：（1）过C作CM⊥DE于M，如图2，
∵CD=FE=DE=2，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠DCE=60°，
∴CM=

3

2

DE=

3

，
∵∠1=180°-∠ADC-∠CDE=180°-90°-60°=30°，
而∠1等于旋转角，
∴α=30°；

（2）如图3，
∵四边形MFNC为正方形，
而矩形ABCD绕点D顺时针旋转和矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．
∴NF=NC，∠FNC=90°，
∴∠DNE=90°，ND=NE，
∴∠NDE=∠NED=45°，
∴∠1=180°-90°-45°=45°，
∴α=45°．
故答案为：60，

3

，30；45．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形和等腰三角形的性质．