Question

如图，在同一平面内有相同的正方形ABCD和A′B′C′D′，A′与正方形ABCD的中心重合，且正方形A′B′C′D′绕A′转动，则它们重叠部分的面积与正方形ABCD的面积之比是

1：4

．

Answer 1

分析：设A′B′与BC交于M点，A′D′与CD交于N点，根据正方形的性质证明△A′MC≌△A′ND，利用割补法得出S_{四边形A′MCN}=S_△A′CD，再根据正方形ABCD与△A′CD的面积关系解题．

解答：解：如图，设A′B′与BC交于M点，A′D′与CD交于N点，
∵∠CA′D=∠MA′N=90°，
∴∠CA′N+∠DA′N=∠MA′C+∠NA′C，
∴∠DA′N=∠MA′C，
又A′D=A′C，∠A′DN=∠A′CM=45°，
∴△A′ND≌△A′MC，
∴S_△A′ND=S_△A′MC，
∴_{四边形A′MCN}=S_△A′CD，
而S_△A′CD：S_{正方形ABCD}=1：4，
故答案为：1：4．

点评：本题考查了正方形的性质，运用旋转的性质解题的思想．关键是运用旋转的观点找出两个全等三角形．