Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，以线段EF的中点G为圆心，以EF为直径作⊙G，当⊙G最小时，求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；（3）或

【解析】

（1）首先根据题意得出C，B点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

（2）分别利用第一种情况，当以C为直角顶点时，第二种情况，当点A为直角顶点时，得出P点坐标即可；

（3）根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，进而得出P点坐标即可．

解：（1）由A（4，0），可知OA＝4，

∵OA＝OC＝4OB，

∴OA＝OC＝4，OB＝1，

∴C（0，4），B（﹣1，0）．

设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c，

则，

解得：，

则抛物线的解析式是：y＝﹣x2+3x+4；

（2）存在．

第一种情况，如图1，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．

过点P1作y轴的垂线，垂足是M．

∵∠ACP1＝90°，

∴∠MCP1+∠ACO＝90°．

∵∠ACO+∠OAC＝90°，

∴∠MCP1＝∠OAC．

∵OA＝OC，

∴∠MCP1＝∠OAC＝45°，

∴∠MCP1＝∠MP1C，

∴MC＝MP1，

设P（m，﹣m2+3m+4），则m＝﹣m2+3m+4﹣4，

解得：m1＝0（舍去），m2＝2．

∴﹣m2+3m+4＝6，

即P（2，6）．

第二种情况，如图1，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，

过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．

∴P2N∥x轴，

由∠CAO＝45°，

∴∠OAP＝45°，

∴∠FP2N＝45°，AO＝OF．

∴P2N＝NF，

设P2（n，﹣n2+3n+4），则n＝（﹣n2+3n+4）+4，

解得：n1＝﹣2，n2＝4（舍去），

∴﹣n2+3n+4＝﹣6，

则P2的坐标是（﹣2，﹣6）．

综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）如图2，连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF．

根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在直角△AOC中，OC＝OA＝4，

则AC＝＝4，

根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．

又∵DF∥OC，

∴DF＝OC＝2，

∴点P的纵坐标是2．

则﹣x2+3x+4＝2，

解得：x＝，

∴当EF最短时，圆最小．点P的坐标是：或．