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一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC.
(1)若m为常数,求抛物线的解析式;
(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点;
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(1)由题点是未知的,因为抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0),可以把抛物线设为两点式,根据AC⊥BC的关系解出C点坐标从而得到抛物线解析式;
(2)用图象平移,m为小于零的常数,只需将抛物线向右平移|m|个单位,再向上平移2个单位就可以了;
(3)假设存在,求出△BOD三个顶点坐标,则有两边相等,从而解出m.
解答:解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-m+2)(x-m-2)=a(x-m)2-4a.(2分)
∵AC⊥BC,由抛物线的对称性可知:△ACB是等腰直角三角形,又AB=4,
∴C(m,-2)代入得a=
∴解析式为:y=(x-m)2-2.(5分)
(亦可求C点,设顶点式)

(2)∵m为小于零的常数,
∴只需将抛物线向右平移|m|个单位,再向上平移2个单位,可以使抛物线y=(x-m)2-2顶点在坐标原点.(7分)

(3)由(1)得D(0,m2-2),设存在实数m,使得△BOD等腰三角形.
∵△BOD为直角三角形,
∴只能OD=OB.(9分)
m2-2=|m+2|,当m+2>0时,解得m=4或m=-2(舍).
当m+2<0时,解得m=0或m=-2(舍);
∵m=0时,D点坐标为(0,-2),在y轴的负半轴,
∴m=0舍去;
m=2,D点坐标为(0,0),也不合题意舍去;
当m+2=0时,即m=-2时,B、O、D三点重合(不合题意,舍)
综上所述:存在实数m=4,使得△BOD为等腰三角形.(12分)
点评:此题考查抛物性质,巧妙设抛物线解析式,还考了三角形垂直性质和抛物线的平移,最后探究存在性问题.
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(1)若m是常数,求抛物线的解析式;
(2)设抛物线交y轴正半轴于D点,抛物线的对称轴交x轴于E点.问是否存在实数m,使得△EOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

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(1)求点C的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若m小于0,那么(2)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?

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