Question

在Rt△ACB中，∠ABC=90°，BC=6cm，AB=8cm
（1）求AC的长；
（2）若点P从点B出发，以2cm/s的速度在BC所在的直线l上运动，设运动时间为t，那么当t为何值时，△ACP为等腰三角形？

Answer 1

解：（1）∵∠ABC=90°，
∴AC²=AB²+BC²=8²+6²=100，
∴AC=10．
（2）①若CP=CA，

则：BP=CP+BC=6+10=16或BP=CP-BC=10-6=4，
即2t=16，t=8或2t=4，t=2；
②若AP=AC，

则：
AB垂直平分PC，BP=BC=6，
即2t=6，t=3；
③若PA=PC，

则P在AC的垂直平分线上，所以P在B左侧，
PB=2t，BC=6，
∴PC=2t=16，t=8，PA=2t+6，
∵∠ABP=90°，
∴AP²=AB²+BP²，
即（2t+6）²=（2t）²+8²，
解得t=；
所以当点P向左运动s、2s、3s或向右运动8s时，△ACP为等腰三角形．
分析：（1）利用勾股定理直接求出即可；
（2）△ACP为等腰三角形，分三种情况探讨：①CP=CA，②AP=AC，③PA=PC；逐一分析找出答案即可．
点评：此题综合考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及渗透分类讨论思想．