Question

【题目】定义：在一个三角形中，若存在两条边x和y，使得y＝x2，则称此三角形为“平方三角形”，x称为平方边．

（1）“若等边三角形为平方三角形，则面积为是　 　命题；“有一个角为30°且有一条直角边为2的直角三角形是平方三角形”是　 　命题；（填“真”或“假”）

（2）若a，b，c是平方三角形的三条边，平方边a＝2，若三角形中存在一个角为60°，求c的值；

（3）如图，在△ABC中，D是BC上一点．

①若∠CAD＝∠B，CD＝1，求证，△ABC是平方三角形；

②若∠C＝90°，BD＝1，AC＝m，CD＝n，求tan∠DAB．（用含m，n的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）真，假；（2）c的长为4或1+；(3)①见解析；②tan∠DAB＝

【解析】

（1）①根据平方三角形的定义，求出等边三角形的边长即可判断．②分两种情形分别判断即可．

（2）为a，b，c是平方三角形的三条边，平方边a＝2，三角形中存在一个角为60°，只有∠B或∠C＝60°，∠A不可能为60°，不妨设∠B＝60°，BC＝2，分两种情形：如图1中，①当c＝a2时．②如图2中，当b＝a2＝4时，作CH⊥AB于H．求出AB即可．

（3）①证明△CAD∽△CBA，利用相似三角形的性质即可解决问题．

②如图4中，作DH⊥AB于H．利用相似三角形的性质求出DH，AH即可解决问题．

解：（1）∵等边三角形为平方三角形，

∴根据平方三角形的定义可知：等边三角形的边长为1，

∴等边三角形的面积＝，

∴①是真命题．

当直角三角形中，30°所对的直角边为2时，斜边为4，满足平方三角形的定义，

当直角三角形中，和30°相邻的直角边是2时，不是平方三角形，

故②是假命题，

故答案为真，假．

（2）因为a，b，c是平方三角形的三条边，平方边a＝2，三角形中存在一个角为60°，

只有∠B或∠C＝60°，∠A不可能为60°，不妨设∠B＝60°，BC＝2，

如图1中，①当c＝a2时，∵a＝2，

∴c＝22＝4．

如图2中，当b＝a2＝4时，作CH⊥AB于H．

在Rt△BCH中，∵∠B＝60°，∠CHB＝90°，BC＝2，

∴BH＝BC＝1，CH＝BH＝，

在Rt△ACH中，AH＝＝，

∴c＝AB＝BH+AH＝1+，

综上所述，c的长为4或1+．

（3）①如图3中，

∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠B，

∴△CAD∽△CBA，

∴＝，

∴AC2＝CDCB，

∵CD＝1，

∴AC2＝BC，

∴△ABC是平方三角形．

②如图4中，作DH⊥AB于H．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝m，BC＝CD+BD＝1+n，

∴AB＝，

∵DH⊥AB，

∴∠DHB＝90°，

∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠C＝90°，

∴△BHD∽△BCA，

∴ ，

∴ ，

∴DH＝，BH＝，

∴AH＝﹣，

∴tan∠DAB＝＝＝．