Question

（1）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=2，∠ADB=30°，现将矩形纸片沿对角线BD折叠，（使△CBD和△EBD落在同一平面内）则AE两点间的距离为______．
（2）求x的值，3^2x+1+9^x+1=36．
（3）如图2，厂A和工厂B被一条河隔开，它们到河的距离都是2km，两个厂的水平距离都是3km，河宽1km，现在要架一座垂直于河岸的桥，使工厂A到工厂B的距离最短．（河的两岸是平行的）
①请画出架桥的位置．（不写画法）
②求从工厂A经过桥到工厂B的最短路程．

Answer 1

解：（1）由矩形的性质可知△ABD≌△CDB，由折叠的性质可知△CDB≌△EDB，
∴△ABD≌△EDB，
根据全等三角形对应边上的高相等，可知AE∥BD，
∵AD∥BC，△CDB≌△EDB，
∴∠EBD=∠CBD=∠ADB=30°，
∴∠ABE=90°-∠EBD-∠CBD=30°，
∠AEB=∠EBD=30°，即∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=2；
故答案为：2；

（2）由3^2x×3+9^x×9=36，
得3^2x×3+3^2x×9=36，
有3^2x（3+9）=36，
∴3^2x=3，
2x=1，
解得：x=，

（3）①如图所示，AA′=1km，则MN为架桥的位置．
②过点B作BE⊥AA′交其延长线于点E．
则A′E=4，BE=3，
A′B=
=
=5，
则从A到B的最短路程是：
AM+MN+BN=A′B+MN，
=5+1，
=6（km），
答：从工厂A经过桥到工厂B的最短路程是6km．
分析：（1）由矩形的性质，折叠的性质可证△ABD≌△EDB，根据全等三角形对应边上的高相等，可证四边形ABDE为梯形，再根据角的关系证明△ABE为等腰三角形即可．
（2）首先把算式变形为3^2x×3+3^2x×9=36，再提取公因式3^2x，可得3^2x（3+9）=36，进而得到3^2x=3，即2x=1，再解方程即可；
（3）①根据两点间直线距离最短，使AMNA′为平行四边形即可，即AA′垂直河岸且等于河宽，接连A′B，
②根据已知数据由勾股定理求出A′B的长即可．
点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及平行四边形的性质和幂的乘方与积的乘方等知识，根据已知得出A′B是解题关键．