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【题目】如图,在△ABC中,AB7BC4,∠ABC45°,射线CDABD,点P为射线CD上一动点,以PD为直径的⊙OPAPB分别为EF,设CPx

1)求sinACD的值.

2)在点P的整个运动过程中:

①当⊙O与射线CA相切时,求出所有满足条件时x的值;

②当x为何值时,四边形DEPF为矩形,并求出矩形DEPF的面积.

3)如果将△ADC绕点D顺时针旋转150°,得△ADC′,若点A′和点C′有且只有一个点在圆内,则x的取值范围是   

【答案】1sinACD;(2)①x的值为x1x10;②当x4±2时,四边形DEPF为矩形,矩形DEPF的面积为;(3x7

【解析】

1)如图,在RtBCD中,BC4,∠ABC45°计算BDCD,AD的长度,然后利用勾股定理求出AC的长度即可求解;

2)①⊙O与射线CA相切包括PAB两侧两种情况,当PAB左侧时,如图,sinACD,而CDx+2r4,可求x,同理当PAB右侧时可解;

②设圆的半径为r,四边形DEPF为矩形,包括PAB两侧两种情况,当PAB右侧时,如图设:PDx4a,利用三角形APD的面积:EDDF,利用ED2DF2可以求解,同理当当PAB左侧的情况;

3)利用勾股定理分别求出PA2PC2,然后分r2PA2r2PC2两种情况,分别求解即可.

解:(1)在RtBCD中,BC4,∠ABC45°,

CD4BD4

,

ADABBD3

sinACD

2)①⊙O与射线CA相切,包括PAB两侧两种情况,

PAB左侧时,如下图,圆的半径为r,圆与AC相切于点H

则在RtCHO中,OCx+rOHrsinACD

sinACD,而CDx+2r4

解得:x1

同理当PAB右侧时,求得x4+610

所有满足条件时x的值为x1x10

②设圆的半径为r,四边形DEPF为矩形,包括PAB两侧两种情况,

PAB右侧时,原图的简图如下图,设∠ABP=∠DPEα

设:PDx4a

RtADP中,利用三角形APD的面积=EDAPAPPD

解得:ED

同理可得:DFPF2a2DF2

四边形DEPF为矩形,

ED2DF2

解得:a2x4+2

sinαcosα

S四边形DEPFDPsinαcosα

同理当当PAB左侧时,

此时PD4xa

经计算a2x42

S四边形DEPFDPsinαcosα

答:当x4±2时,四边形DEPF为矩形,矩形DEPF的面积为

3)如下图,连接PA′、PC′,

在△PDA′中,AD′=3PD4x,∠PDA150°,

利用勾股定理得:PA2=(2+(x2x211x+

r2PA2时,解得:x7

同理可得:PC232+16﹣(8+4x+x2

r2PC2时,解得:x

x的取值范围为:x7

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尝试运用

1)如图1,在RtABC中,∠C90°BC3AB5BD是∠ABC的平分线.

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②试问在边AC上是否存在点E(异于点D),使得ABE也是类直角三角形?若存在,请求出CE的长;若不存在,请说明理由.

类比拓展

2)如图2ABD内接于⊙O,直径AB10,弦AD6,点E是弧AD上一动点(包括端点AD),延长BE至点C,连结AC,且∠CAD=∠AOD,当ABC类直角三角形时,求AC的长.

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