Question

【题目】如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折叠DE分别交AB、AC于E、G，连接GF，下列结论：①∠FGD＝112.5°②BE＝2OG③S△AGD＝S△OGD④四边形AEFG是菱形( )

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由四边形ABCD是正方形和折叠性得出∠DAG=∠DFG=45°，∠ADG=∠FDG=45°÷2=22.5°，再由三角形的内角和求出∠FGD=112.5°．故①正确，

②④由四边形ABCD是正方形和折叠，判断出四边形AEFG是平行四边形，再由AE=EF，得出四边形AEFG是菱形．利用45°的直角三角形得出GF=OG，BE=EF=GF，得出BE=2OG，故②④正确．

③由四边形ABCD是正方形和折叠性，得到△ADG≌△FDG，所以S△AGD=S△FDG≠S△OGD故③错误．

①由四边形ABCD是正方形和折叠性知，

∠DAG＝∠DFG＝45°，∠ADG＝∠FDG＝45°÷2＝22.5°，

∴∠FGD＝180°﹣∠DFG﹣∠FDG＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，

故①正确，

②由四边形ABCD是正方形和折叠性得出，

∠DAG＝∠DFG＝45°，∠EAD＝∠EFD＝90°，AE＝EF，

∵∠ABF＝45°，

∴∠ABF＝∠DFG，

∴AB∥GF，

又∵∠BAC＝∠BEF＝45°，

∴EF∥AC，

∴四边形AEFG是平行四边形，

∴四边形AEFG是菱形．

∵在Rt△GFO中，GF＝OG，

在Rt△BFE中，BE＝EF＝GF，

∴BE＝2OG，

故②④正确．

③由四边形ABCD是正方形和折叠性知，

AD＝FD，AG＝FG，DG＝DG，

在△ADG和△FDG中，

，

∴△ADG≌△FDG(SSS)，

∴S△AGD＝S△FDG≠S△OGD

故③错误．

正确的有①②④，

故选C．