Question

3．如图，四边形ABCD为正方形（各边相等，各内角为直角），E是BC边上一点，F是CD上的一点．
（1）若△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，求证：∠EAF=45°；
（2）在（1）的条件下，若DF=2，CF=4，CE=3，求△AEF的面积．

Answer 1

分析 （1）延长CF至G，使DG=BE，连接AG，由已知条件得出CE+CF+EF=CD+BC，得出DF+BE=EF，证出DF+DG=EF，即GF=EF，由SAS证明△ABE≌△ADG，得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，证出∠EAG=90°，由SSS证明△AEF≌△AGF，得出∠EAF=∠GAF=$\frac{1}{2}$×90°=45°；
（2）由已知条件得出AB=AD=CD=BC=6，BE=BC-CE=3，由（1）得：△AEF的面积=△AGF的面积=△ABE的面积+△ADF的面积，即可得出答案．

解答 （1）证明：延长CF至G，使DG=BE，连接AG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABE=∠ADF=90°，AB=BC=CD=AD，
∴∠ADG=90°，
∵△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，
∴CE+CF+EF=CD+BC，
∴DF+BE=EF，
∴DF+DG=EF，即GF=EF，
在△ABE和△ADG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠ABE=∠ADG=90°}&{\;}\\{BE=DG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∴∠EAG=90°，
在△AEF和△AGF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}&{\;}\\{GF=EF}&{\;}\\{AF=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF=∠GAF=$\frac{1}{2}$×90°=45°；
（2）解：∵DF=2，CF=4，CE=3，
∴AB=AD=CD=BC=2+4=6，BE=BC-CE=3，
由（1）得：△AEF的面积=△AGF的面积=△ABE的面积+△ADF的面积=$\frac{1}{2}$×6×3+$\frac{1}{2}$×6×2=15．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．