【题目】(1)如图①所示,若AB∥CD,点P在AB,CD外部,则有∠B=∠BOD.又因∠BOD是△POD的外角,故∠BOD=∠P+∠D,得∠P=∠B-∠D.将点P移到AB,CD内部,如图②,以上结论是否成立?若成立,说明理由;若不成立,则∠BPD,∠B,∠D之间有何数量关系?并证明你的结论;
(2)在图②中,将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q,如图③,则∠BPD,∠B,∠D,∠BQD之间有何数量关系?(不需证明)
(3)根据(2)的结论,求图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
【答案】(1)不成立,结论是∠BPD=∠B+∠D,证明详见解析;(2)∠BPD=∠BQD+∠B+∠D;(3)∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEB+∠F=360°.
【解析】
(1)延长BP交CD于点E,根据AB∥CD得出∠B=∠BED,再由三角形外角的性质即可得出结论;
(2)连接QP并延长,由三角形外角的性质得出∠BPE=∠B+∠BQE,∠DPE=∠D+∠DQP,由此可得出结论;
(3)由(2)的结论得:∠AFG=∠B+∠E.∠AGF=∠C+∠D.再根据∠A+∠AFG+∠AGF=180°即可得出结论.
(1)不成立,结论是∠BPD=∠B+∠D.
证明:如图①所示,延长BP交CD于点E.
∵AB∥CD,∴∠B=∠BED.又∵∠BPD=∠BED+∠D,∴∠BPD=∠B+∠D.
(2)结论:∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.
(3)如图②所示,连接EG并延长,根据(2)中的结论可知∠AGB=∠A+∠B+∠AEB,
又∵∠AGB=∠CGF,在四边形CDFG中,∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEB+∠F=360°.
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E,交AC于点C,使∠BED=∠C.
(1)判断直线AC与圆O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若AC=8,cos∠BED=,求AD的长.
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【题目】(2017天津)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上.
(1)AB的长等于____;
(2)在△ABC的内部有一点P,满足S△PS△PS△PCA=1:2:3,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)_______
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【题目】为了考察甲、乙两种农作物的长势,分别从中抽取了10株苗,测得苗高如表(单位:cm).
甲 | 9 | 10 | 11 | 12 | 7 | 13 | 10 | 8 | 12 | 8 |
乙 | 8 | 13 | 12 | 11 | 10 | 12 | 7 | 7 | 9 | 11 |
小颖已求得甲=10cm,S甲2=3.6(cm2).问:哪种农作物的10株苗长得比较整齐?
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【题目】已知∠MON=,P为射线OM上的点,OP=1.
(1)如图1,,A,B均为射线ON上的点,OA=1,OBOA,△PBC为等边三角形,且O,C两点位于直线PB的异侧,连接AC.
①依题意将图1补全;
②判断直线AC与OM的位置关系并加以证明;
(2)若,Q为射线ON上一动点(Q与O不重合),以PQ为斜边作等腰直角△PQR,使O,R两点位于直线PQ的异侧,连接OR. 根据(1)的解答经验,直接写出△POR的面积.
图1 备用图
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【题目】如图1所示,在两地之间有汽车站站,客车由地驶往站,货车由地驶往地两车同时出发,匀速行驶图2是客车、货车离站的路程(千米)与行驶时间(小时)之间的函数关系图像.
(1)填空:两地相距 千米;货车的速度是 千米/时;
(2)求三小时后,货车离站的路程与行驶时间之间的函数表达式;
(3)试求客车与货两车何时相距千米?
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【题目】本学期初,某校为迎接中华人民共和国建国七十周年,开展了以“不忘初心,缅怀革命先烈,奋斗新时代”为主题的读书活动.校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”(下面简称:“读书量”)进行了随机抽样调查,并对所有随机抽取学生的“读书量”(单位:本)进行了统计,如图所示:
所抽取该校七年级学生四月份“读书量”的统计图
根据以上信息,解答下列问题:
(1)补全上面两幅统计图,填出本次所抽取学生四月份“读书量"的众数为____________.
(2)求本次所抽取学生四月份“读书量"的平均数.
(3)已知该校七年级有名学生,请你估计该校七年级学生中,四月份“读书量”为本的学生人数.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD//BC,点E在边AD上,且CB=CE,点F是射线ED上的一个动点,的平分线CG交BE的延长线于点G.
(1)若,,求的度数;
(2)在动点F运动的过程中,的值是否发生变化?若不变,求出它的值;若变化 ,请说明理由.
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