Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，DM⊥AB于点M．连接BD并延长到E，使DE＝BD，作EF⊥AB，交BA的延长线于点F．

（1）求MB的长；

（2）求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）MB＝7；（2）AF＝4．

【解析】

（1）作CN⊥AB于点N，然后即可证明四边形DMNC是矩形和△DMA≌△CNB，然后即可得到BM的长；
（2）根据（1）中的结果和三角形相似的知识，可以得到BF的长，然后根据AB=10，即可得到AF的长．

（1）作CN⊥AB于点N，

∵AB∥CD，DM⊥AB，CN⊥AB，

∴∠DMN＝∠MNC＝∠MDC＝90°，

∴四边形DMNC是矩形，

∴DM＝CN，DC＝MN，

在Rt△DMA和Rt△CNB中，

，

∴Rt△DMA≌Rt△CNB（HL），

∴AM＝BN，

∵AB＝10，CD＝4，

∴AM＝BN＝3，MN＝4，

∴MB＝MN+BN＝7；

（2）∵DM⊥AB，EF⊥AB，

∴DM∥EF，

∴△BDM∽△BEF，

∴，

∵点D为BE的中点，

∴BD＝BE，

∴＝，

∴＝，

∵BM＝7，

∴BF＝14，

∵AB＝10，

∴AF＝BF﹣AB＝14﹣10＝4．