Question

11．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先判断出△PMC≌△PNB，再用PC²=PB²，建立方程求解即可；
（3）先判断出点Q只能在点O左侧，再分两种情况讨论计算即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-4ax+1，
∴点C的坐标为（0，1）．
∵OB=3OC，
∴点B的坐标为（3，0）．
∴9a-12a+1=0，
∴$a=\frac{1}{3}$．
∴$y=\frac{1}{3}{x^2}-\frac{4}{3}x+1$．
（2）如图，

过点P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，垂足分别为点M、N．
∵∠MPC=90°-∠CPN，∠NPB=90°-∠CPN，
∴∠MPC=∠NPB．
在△PCM和△PBN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PMC=∠PNB}\\{∠MPC=∠NPB}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△PMC≌△PNB，
∴PM=PN．
设点P（a，a）．
∵PC²=PB²，
∴a²+（a-1）²=（a-3）²+a²．
解得a=2．
∴P（2，2）．
（3）∵该抛物线对称轴为x=2，B（3，0），
∴A（1，0）．
∵P（2，2），A（1，0），B（3，0），C（0，1），
∴PO=$2\sqrt{2}$，AC=$2\sqrt{2}$，AB=2．
∵∠CAB=135°，∠POB=45°，
在Rt△BOC中，tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}=\frac{1}{3}$，
∴∠OBC≠45°，∠OCB＜90°，
在Rt△OAC中，OC=OA，
∴∠OCA=45°，
∴∠ACB＜45°，
∴当△OPQ与△ABC相似时，点Q只有在点O左侧时．
（i）当$\frac{AC}{AB}=\frac{OP}{OQ}$时，∴$\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{2\sqrt{2}}}{OQ}$，
∴OQ=4，
∴Q（-4，0）．
（ii）当$\frac{AC}{AB}=\frac{OQ}{OP}$时，∴$\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{OQ}{{2\sqrt{2}}}$，
∴OQ=2，
∴Q（-2，0）．
当点Q在点A右侧时，
综上所述，点Q的坐标为（-4，0）或（-2，0）．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，解本题的关键是判断出点Q只能在点O的左侧，是一道很好的中考常考题．