【题目】如图1,直角△ABC中,∠ABC=90°,AB是⊙O的直径,⊙O交AC于点D,过点D的直线交BC于点E,交AB的延长线于点P,且∠A=∠PDB.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)如图2,点M是 的中点,连接DM,交AB于点N,若tan∠A=
,求
的值.
【答案】
(1)解:连结OD;
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,OA=OB,∠A+∠ABD=90°;
又∵OA=OB=OD,
∴∠ADO=∠A,∠BDO=∠ABD;
又∵∠A=∠PDB,
∴∠PDB+∠BD0=90°,
即∠PDO=90°,且D在圆上,
∴PD是⊙O的切线;
(2)解:连结OM,过D作DF⊥AB于F;
∵点M是 的中点,
∴OM⊥AB;设BD=x,
∵tan∠A= =
,
∴AD=4x;由勾股定理得:
AB= =
x;由三角形的面积公式得:
ADBD=
ABDF,
∴DF= x,
∵OM∥DF,
∴△OMN∽△FDN,
∴ =
=
.
【解析】(1)连结OD;由AB是⊙O的直径,得到ADB=90°,根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠A,∠BDO=∠ABD;得到∠PDO=90°,且D在圆上,于是得到结论;(2)连结OM,过D作DF⊥AB于F;由点M是 的中点,得到OM⊥AB;设BD=x,根据已知条件得到AD=4x;由勾股定理得到AB=
=
x;根据三角形的面积公式解方程得到DF=
x,根据相似三角形的性质即可得到结论.
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形的相关知识点,需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方;解直角三角形的依据:①边的关系a2+b2=c2;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义.(注意:尽量避免使用中间数据和除法)才能正确解答此题.
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【题目】下列语句中正确的是( )
A.两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等
B.三个内角对应相等的两个三角形全等
C.两个等腰直角三角形全等,那么它们的斜边相等
D.两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等
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【题目】如图是明明设计的智力拼图玩具的一部分,现在明明遇到了两个问题,请你帮助解决:
问题1:∠D=32°,∠ACD=60°,为保证AB∥DE,则∠A等于多少度?
问题2:∠G,∠GFH,∠H之间有什么样的关系时,GP∥HQ?
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【题目】已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内,下列说法正确的个数是( )
①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c; ②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;
③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c; ④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c.
A,1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【题目】在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中点,一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合,将三角板绕点E旋转,三角板的两直角边分别交AB,BC(或它们的延长线)于点M,N.
(1)观察图1,直接写出∠AEM与∠BNE的关系是;(不用证明)
(2)如图1,当M、N都分别在AB、BC上时,可探究出BN与AM的关系为:;(不用证明)
(3)如图2,当M、N都分别在AB、BC的延长线上时,(2)中BN与AM的关系式是否仍然成立?若成立,请说明理由:若不成立,写出你认为成立的结论,并说明理由.
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【题目】如图,在¨ABCD中,过点D作DE⊥AB与点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF
(1)求证:四边形BFDE是矩形;
(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分∠DAB.
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【题目】如图,直线y=kx+b经过点A(5,0),B(1,4).
(1)求直线AB的表达式;
(2)若直线y=2x-4与直线AB相交于点C,求点C的坐标;
(3)根据图象,写出关于x的不等式kx+b>2x-4>0的解集.
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【题目】今年4月,我市某中学举行了“爱我中国朗诵比赛”活动,根据学生的成绩划分为A、B、C、D四个等级,并绘制了如下两种不完整的统计图.根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)参加朗诵比赛的学生共有人,并把条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中,m= , n=;C等级对应扇形的圆心角为度;
(3)学校准备从获A等级的学生中随机选取2人,参加市举办的朗诵比赛,请利用列表法或树形图法,求获A等级的小明参加市朗诵比赛的概率.
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