Question

（1）用计算器探索：
①

121(1+2+1)

=
②

12321(1+2+3+2+1)

=
③

1234321(1+2+3+4+3+2+1)

=
由此猜想：

1234567654321(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1)

=

 

．
（2）已知关于x的方程x²-2ax+a²-2a+2=0的两个实数根x₁、x₂满足x₁²+x₂²=2，则a的值为

 

．

Answer 1

分析：（1）根据①②③找出规律；求出

1234567654321(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1)

的值；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，以及x₁²+x₂²=2即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2，求出a的值；

解答：解：（1）由①可得

121(1+2+1)

=22；
②

1231(1+2+3+2+1)

=333；
③

1234321(1+2+3+4+3+2+1)

=4444；
故猜想：

1234567654321(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1)

=7777777．

（2）∵x₁、x₂是关于x的方程x²-2ax+a²-2a+2=0的两个实数根，∴x₁+x₂=2a，x₁x₂=a²-2a+2，
又∵x₁²+x₂²=2，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2，即4a²-2（a²-2a+2）=2，整理得（2a-2）（a+3）=0，即a=1或a=-3．
把a=1代入原方程得x²-2x+1²-2+2=0，△=（-2）²-4（1²-2+2）=0，方程有两个相等的实数根；
把a=-3代入原方程得x²-2×（-3）x+（-3）²-2（-3）+2=0，即x²+6x+17=0，△=（6）²-4×17=-32＜0，与已知相矛盾，故a的值为1．

点评：（1）属于规律性题目，主要是根据已知中所给的式子找出规律，求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，求出a的值，解答此类题目时要注意验根，否则会造成误解．