Question

如图，正方形ABCD中，P是直线CD上一动点（不与C、D重合），过BC边的中点E作直线EF⊥BP于F，直线EF交直线AB于H，过A作AQ⊥EF于Q．如图①，当点H在BA上时，易证：AQ+BF=2EF．
（1）当点H在BA的延长线上时，如图②，猜想AQ、BF、EF之间有怎样的数量关系，并说明理由；
（2）当点H在AB的延长线上时，如图③，请直接写出AQ、BF、EF之间的数量关系．

Answer 1

分析：（1）可过A点作AM∥HE交BC于M点，交BF于N点，很容易证明△ABN和△BEF相似，也很容易证AQ=NF，问题就可以证明．
（2）AQ、BF、EF满足AQ-BF=2EF，也可通过作辅助线得到结论．

解答：解：（1）BF-AQ=2EF．
过A点作AM∥HE交BC于M点，交BF于N点．
∵∠PBC+∠ABP=90°，∠BAM+∠ABP=90°，
∴∠PBC=∠BAM．
∵∠ANB=∠EFB=90°．
∴△BEF∽△ABN．
∴

AB

BE

=

BN

EF

=2．
∵AQ=NF，
∴BN=BF-AQ．
∴BF-AQ=2EF．

（2）AQ-BF=2EF．

点评：本题考查正方形的性质，正方形的四边相等，四个角都是直角，根据正方形的性质作出辅助线很容易证明两个三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例可求解．