Question

（2013•海珠区一模）如图，直线y=kx-k+2与抛物线y=

1

4

x2-

1

2

x+

5

4

交于A、B两点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q．
（1）证明直线y=kx-k+2过定点P，并求出P的坐标；
（2）当k=0时，证明△AQB是等腰直角三角形；
（3）对于任意的实数k，是否都存在一条固定的直线与以AB为直径的圆相切？若存在，请求出此直线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）整理成关于k的形式，然后根据k的系数等于0列式求出x的值，再求出y的值，即可得到定点P的坐标；
（2）先写成直线的解析式，再与抛物线解析式联立求出点A、B的坐标，根据抛物线的解析式求出点Q的坐标，然后利用两点间的距离公式求出AB、AQ、BQ，再根据勾股定理逆定理证明；
（3）设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），联立直线与抛物线解析式消掉未知数y，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出AB的长，再求出AB的中点坐标，然后根据AB的长等于AB的中点到x轴的距离的2倍可得以AB为直径的圆与x轴相切．

解答：（1）证明：∵y=kx-k+2=k（x-1）+2，
∴当x-1=0，即x=1时，y=2，
故，直线y=kx-k+2过定点P（1，2）；

（2）证明：当k=0时，直线y=kx-k+2=2，
交点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐标符合方程组：

y=2 y= 1 4 x2- 1 2 x+ 5 4

，
解得：

x1=-1 y1=2

，

x2=3 y2=2

，
即A（-1，2），B（3，2），
抛物线y=

1

4

x²-

1

2

x+

5

4

=

1

4

（x-1）²+1，
∵抛物线的对称轴与x轴交于点Q，
∴Q（1，0），
∴AB=

(-1-3)2+(2-2)2

=4，
AQ=

(-1-1)2+(2-0)2

=2

2

，
BQ=

(3-1)2+(2-0)2

=2

2

，
∴AB²=AQ²+BQ²，AQ=BQ，
所以，△AQB是等腰直角三角形；

（3）解：存在定直线与以AB为直径的圆相切，此直线即x轴，解析式是y=0．
理由如下：交点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐标符合方程组：

y=kx-k+2 y= 1 4 x2- 1 2 x+ 5 4

，
消掉y得，

1

4

x²-（

1

2

+k）x+k-

3

4

=0，
∵x₁+x₂=2+4k，x₁x₂=4k-3，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（2+4k）²-4（4k-3）=16k²+16，
（y₁-y₂）²=k²（x₁-x₂）²=k²（16k²+16），
∴AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(16k2+16)+k2(16k2+16)

=4k²+4，
∴以AB为直径的圆的半径为2k²+2，
∵AB的中点是（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），

x1+x2

2

=

2+4k

2

=2k+1，

y1+y2

2

=

k(x1+x2)

2

-k+2=k（2k+1）-k+2=2k²+2，
∴AB的中点，即以AB为直径的圆的圆心坐标为（2k+1，2k²+2），
∵圆心到x轴的距离刚好等于半径，
∴存在定直线与以AB为直径的圆相切，此直线即x轴，解析式是y=0．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了直线过定点的求解方法，联立两函数解析式求交点的方法两点间的距离公式，勾股定理逆定理的应用，根与系数的关系，直线与圆的位置关系，综合性较强，难度较大，要特别注意两点间的距离公式的应用．