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如图,已知⊙O的圆心O在射线PM上,PN切⊙O于Q,PO=20cm,∠P=30°,A、B两点同时从P点出发,点A沿PN方向移动,点B以4cm/s的速度沿PM方向移动,且直线AB始终垂直PN.设运动时间为t秒,求下列问题.(结果保留根号)

(1)求PQ的长
(2)当t为何值时直线AB与⊙o相切?
(1);(2)

试题分析:(1)连接OQ,由PN切⊙O于Q,根据切线的性质可得OQ⊥PN,又由PO=20cm,∠P=30°,即可求得PQ的长;
(2)作OE⊥BA于E,由BA⊥PN,即可得四边形AHOQ是矩形,当矩形AEOQ是正方形时,直线BA与⊙O相切.即可求得PB与BA的长,然后分别从当PQ﹣PA=OQ时,直线BA第一次与⊙O相切与当PA﹣PQ=OQ时,直线BA第二次与⊙O相切去分析求解,即可求得答案.
试题解析:(1)解:连结OQ,如图1

∵PN与⊙O相切于点Q,∴OQ⊥PN,∵∠P=30°,OP=20,∴OQ=10,在Rt△OPQ中,

(2)解:设运动t秒,BP=4t,则AB=,AP=
①如图2,当AB与⊙O切于点E时,连结OE,

∴OE⊥AB,又∵OQ⊥PN,AB⊥PN,∴四边形AEOQ是矩形,
∴OE=AQ=10,∴,∴
②如图3,当A′B′与⊙O相切于点F时,连结OF,
∴OF⊥A′B′,又∵OQ⊥PN,AB⊥PN,∴四边形A′FOQ是矩形,∴OF=A′Q,∴
,∴当t为秒或秒时,直线AB与⊙O相切.
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