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在平面直角坐标系中,有一个矩形ABCD,四个顶点的坐标分别为:A(4,0)、B(4,2)、C(8,2)、D(8,0),并且有两个动点P和Q.P从原点O出发,沿x轴正方向运动;Q从A点出发,沿折线A-B-C-D方向在矩形的边上运动,且两点的运动速度均为每秒2个单位.当Q到达D点时,P也随之停止.设运动的时间为x.
(1)分别求出当x=1和x=3时,对应的△OPQ的面积;
(2)设△OPQ的面积为y,分别求出不同时段,y关于x的函数解析式,注明自变量的取值范围.并求出在整个运动过程中,△OPQ的面积的最大值;
(3)在P、Q运动过程中,是否存在两个时刻x1和x2,使得构成相应的△OP1Q1和△OP2Q2相似?若存在,直接写出这两个时刻,并证明两个三角形相似;若不存在,请说明理由.
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分析:(1)根据面积公式即可求出答案;
(2)在运动过程中看P、Q的位置,根据面积公式计算即可;
(3)利用勾股定理求出线段长,根据三边对应成比例,两三角形相似即可得出结论.
解答:(1)解:当x=1时,面积为:S=
1
2
×(4-2)×2=2,
当x=3时,面积为S=
1
2
×(3×2)×2=6,
答:当x=1时,△OPQ的面积是2,当x=3时,△OPQ的面积是6.

(2)当0≤x≤1时,y1=
1
2
•2x•2x=2x2,
,y1=2x2
同法可求:
当1≤x≤3时,y2=2x;
当3≤x≤4时,y3=-2x2+8x);
当x=3时,面积的最大值是6,
答:y1=2x2(0≤x≤1);y2=2x(1≤x≤3);y3=-2x2+8x(3≤x≤4).在整个运动过程中,△OPQ的面积的最大值是6.

(3)当x1=1,x2=2时,△OP1Q1和△OP2Q2相似.
因为OP1=2,P1Q1=2
2
,OQ1=2
5
OP2=4,P2Q2=2
2
,OQ2=2
10

所以:
OP1
Q2P2
=
P1Q1
P2O
=
OQ1
Q2O

所以△OP1Q1和△OP2Q2相似.
点评:本题主要考查了二次函数,矩形的性质,相似三角形的性质和判定,三角形的面积,勾股定理等知识点,综合运用性质进行计算是解此题的关键.本题综合性比较强,有一定的难度.
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2
2

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0°(或360°的整数倍)
,k=
2

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