Question

在平面直角坐标系中，有一个矩形ABCD，四个顶点的坐标分别为：A（4，0）、B（4，2）、C（8，2）、D（8，0），并且有两个动点P和Q．P从原点O出发，沿x轴正方向运动；Q从A点出发，沿折线A-B-C-D方向在矩形的边上运动，且两点的运动速度均为每秒2个单位．当Q到达D点时，P也随之停止．设运动的时间为x．
（1）分别求出当x=1和x=3时，对应的△OPQ的面积；
（2）设△OPQ的面积为y，分别求出不同时段，y关于x的函数解析式，注明自变量的取值范围．并求出在整个运动过程中，△OPQ的面积的最大值；
（3）在P、Q运动过程中，是否存在两个时刻x₁和x₂，使得构成相应的△OP₁Q₁和△OP₂Q₂相似？若存在，直接写出这两个时刻，并证明两个三角形相似；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据面积公式即可求出答案；
（2）在运动过程中看P、Q的位置，根据面积公式计算即可；
（3）利用勾股定理求出线段长，根据三边对应成比例，两三角形相似即可得出结论．

解答：（1）解：当x=1时，面积为：S=

1

2

×（4-2）×2=2，
当x=3时，面积为S=

1

2

×（3×2）×2=6，
答：当x=1时，△OPQ的面积是2，当x=3时，△OPQ的面积是6．

（2）当0≤x≤1时，y₁=

1

2

•2x•2x=2x^2，
∴^{，y₁=2x2，
同法可求：}
当1≤x≤3时，y₂=2x；
当3≤x≤4时，y₃=-2x²+8x）；
当x=3时，面积的最大值是6，
答：y₁=2x²（0≤x≤1）；y₂=2x（1≤x≤3）；y₃=-2x²+8x（3≤x≤4）．在整个运动过程中，△OPQ的面积的最大值是6．

（3）当x₁=1，x₂=2时，△OP₁Q₁和△OP₂Q₂相似．
因为OP1=2，P1Q1=2

2

，OQ1=2

5

；OP2=4，P2Q2=2

2

，OQ2=2

10

所以：

OP1

Q2P2

=

P1Q1

P2O

=

OQ1

Q2O

，
所以△OP₁Q₁和△OP₂Q₂相似．

点评：本题主要考查了二次函数，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理等知识点，综合运用性质进行计算是解此题的关键．本题综合性比较强，有一定的难度．