Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=6，AE=

24

5

，求BD和BC的长．

Answer 1

分析：（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO=90°即可．
（2）已知两边长，求其它边的长，可以来三角形相似，对应边成比例来求．

解答：（1）证明：连接OC；
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC=∠BAC；
又在圆中OA=OC，
∴∠AC0=∠BAC，
∴∠EAC=∠ACO，
∴OC∥AE（内错角相等，两直线平行）；
则由AE⊥DC知OC⊥DC，
即DC是⊙O的切线．

（2）解：∵∠D=∠D，∠E=∠OCD=90°，
∴△DCO∽△DEA，
∴

DO

AD

=

CO

AE

，
∴

DB+BO

AB+BD

=

CO

AE

，
∴

DB+3

6+BD

=

3

24 5

，
∴BD=2；
∵Rt△EAC∽Rt△CAB，
∴

EA

AC

=

AC

AB

，
∴

24 5

AC

=

AC

6

∴AC²=

144

5

，
由勾股定理得：
BC=

6 5

5

．

点评：本题考查了切线的判定、相似三角形的性质和勾股定理的运用．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．