Question

3．如图，已知PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，∠P=60°．AB=4$\sqrt{3}$，求∠C的度数和⊙O的半径．

Answer 1

分析 连接OB，OA，根据切线的性质定理以及四边形的内角和定理得到∠AOB=180°-∠P=120°，再根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，最后用锐角三角函数求出半径．

解答 解：如图，

连接OB，OA，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360°-∠P-∠PAO-∠PBO=120°，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=30°
过点O作OD⊥AB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴cos∠OAB=$\frac{AD}{OA}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OC=4．

点评 此题综合运用了切线的性质定理、四边形的内角和定理、等边对等角以及三角形的内角和定理，锐角三角函数，求出∠AOB是解本题的关键．