【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线分别交轴、轴于点点,,且满足,点在直线的左侧,且.
(1)求的值;
(2)若点在轴上,求点的坐标;
(3)若为直角三角形,求点的坐标.
【答案】(1)a=2,b=4;(2)P(4,0);(3)P(﹣4,2)或(﹣2,﹣2).
【解析】
(1)将利用完全平方公式变形得到(a-2)2+|2a-b|=0,即可求出a、b的值;
(2)由b的值得到OB=4,根据得到OP=OB=4,即可得到点P的坐标;
(3)由可分两种情况求使为直角三角形,当∠ABP=90°时,当∠BAP=90°时,利用等腰三角形的性质证明三角形全等,由此得到点P的坐标.
(1)∵a2-4a+4+|2a-b|=0,
∴(a-2)2+|2a-b|=0,
∴a=2,b=4.
(2)由(1)知,b=4,∴B(0,4).
∴OB=4.
∵点P在直线 AB 的左侧,且在 x 轴上,∠APB=45°
∴OP=OB=4,
∴P(4,0).
(3)由(1)知 a=﹣2,b=4,
∴A(2,0),B(0,4)
∴OA=2,OB=4,
∵△ABP 是直角三角形,且∠APB=45°,
∴只有∠ABP=90°或∠BAP=90°,
如图,
①当∠ABP=90°时,∵∠BAP=45°,
∴∠APB=∠BAP=45°.
∴AB=PB .
过点 P 作 PC⊥OB 于 C,
∴∠BPC+∠CBP=90°,
∵∠CBP+∠ABO=90 °,
∴∠ABO=∠BPC .
在△AOB 和△BCP 中,,
∴△AOB≌△BCP(AAS) .
∴PC=OB=4,BC=OA=2 .
∴OC=OB﹣BC=2.
∴P(-4,2)
②当∠BAP=90°时,过点P'作P'D⊥OA于D,
同①的方法得,△ADP'≌△BOA.
∴DP'=OA=2,AD=OB=4.
∴OD=AD﹣OA=2.
∴P'(﹣2,-2).
即:满足条件的点P(﹣4,2)或(﹣2,﹣2).
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【题目】用适当方法解下列方程:
(1)x2+4x+4=9
(2)3x(2x+1)=4x+2.
(3)3(x﹣1)2=x(x﹣1)
(4)3x2﹣6x﹣2=0.
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【题目】如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,DE∥BC.
(1)判断△DBE是什么三角形,并说明理由;
(2)若F为BE中点,∠ABE=30°,求∠BDF的度数.
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【题目】已知,△ABC是等边三角形,过点C作CD∥AB,且CD=AB,连接BD交AC于点O.
(1)如图1,求证:AC垂直平分BD;
(2)如图2,点M在BC的延长线上,点N在线段CO上,且ND=NM,连接BN.求证:NB=NM.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD⊥CD,BC⊥CD,E为CD的中点,连接AE,BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F。
证明:(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD。
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【题目】如图,点E是BC的中点,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,下列结论:①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE③DE=BE④AD=AB+CD,四个结论中成立的是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中有一个3×3的正方形网格,其右下角格点(小正方形的顶点)A的坐标为(﹣1,1),左上角格点B的坐标为(﹣4,4),若分布在过定点(﹣1,0)的直线y=﹣k(x+1)两侧的格点数相同,则k的取值可以是( )
A.B.C.2D.
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【题目】如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为( )
A. B. 2 C. D. 3
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