【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°.AB=BC.点D是线段AB上的一点,连结CD.过点B作BG⊥CD,分别交CD、CA于点E、F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连结DF,给出以下四个结论:①;②若点D是AB的中点,则AF=AB;③当B、C、F、D四点在同一个圆上时,DF=DB;④若,则S△ABC=9S△BDF,其中正确的结论序号是______.
【答案】①②③
【解析】
由△AFG∽△CFB,可确定结论①正确;由△ABG≌△BCD可得AG=AB=BC,进而由△AFG∽△CFB确定点F为AC的三等分点,可确定结论②正确;当B、C、F、D四点在同一个圆上时,由圆内接四边形的性质得到∠CFD=∠ABC=90°,得到CD为圆的直径,因为BG⊥CD,根据垂径定理得到DF=DB,故③正确;因为D为AB的三等分点,△AFG∽△CFB,所以所以S△ABF=S△ABC,又S△BDF=S△ABF,所以S△ABC=12S△BDF,由此确定结论④错误.
解:依题意可得BC∥AG,
∴△AFG∽△CFB,
∴,
又AB=BC,
∴.故结论①正确;
如图,
∵∠1+∠3=90°,∠1+∠4=90°,
∴∠3=∠4.
在△ABG与△BCD中,
,
∴△ABG≌△BCD(ASA),
∴AG=BD,
又∵BD=AD,
∴AG=AD;
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴AC=AB;
∴AG=AD=AB=BC;
∵△AFG∽△BFC,
∴,
∴FC=2AF,
∴AF=AC=AB.故结论②正确;
当B、C、F、D四点在同一个圆上时,
由圆内接四边形的性质可得∠CFD=∠ABC=90°
∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径,
∵BG⊥CD,
∴,
∴DF=DB,故③正确;
∵,AG=BD,,
∴,
∴S△BDF=S△ABF,,
∴AF=AC,
∴S△ABF=S△ABC;
∴S△BDF=S△ABC,即S△ABC=12S△BDF.故结论④错误.
∴正确的结论有①②③;
故答案为:①②③.
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【题目】廊桥是我国古老的文化遗产.如图,是某座抛物线型的廊桥示意图,已知抛物线的函数表达式为,为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面高为8米的点、处要安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离是____米.
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和C(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1,下列结论:①abc>0;②4a+2b+c>0;③4ac﹣b2<8a;④;⑤b<c.其中含所有正确结论的选项是_____.
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【题目】下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程.
已知:.
求作:,使得.
作法:如图,
①在射线上任取一点;
②作线段的垂直平分线,交于点,交于点;
③连接;
所以即为所求作的角.
根据小华设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明(说明:括号里填写推理的依据).
证明:∵是线段的垂直平分线,
∴______(______)
∴.
∵(______)
∴.
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【题目】如图,已知边长为2的正方形ABCD,边BC上有一点E,将△DCE沿DE折叠至△DFE,若DF,DE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切,则⊙O的半径为_____.
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【题目】如图,AB为半圆O的直径,点C在半圆O上,过点O作BC的平行线交AC于点E,交过点A的直线于点D,且∠D=∠BAC.
【1】求证:AD是半圆O的切线;
【2】若BC=2,CE=,求AD的长.
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【题目】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:,,,因此4,12,20都是“神秘数”
(1)请说明28是否为“神秘数”;
(2)下面是两个同学演算后的发现,请选择一个“发现”,判断真假,并说明理由.
①小能发现:两个连续偶数和(其中取非负整数)构造的“神秘数”也是4的倍数.
②小仁发现:2016是“神秘数”.
提示:(2)中两个发现,只需解答其中一个,若两个都做,按“小能发现”的解答计分.
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【题目】如图,已知点A是一次函数(x≥0)图象上一点,过点A作x轴的垂线l,B是l上一点(B在A上方),在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,反比例函数(x>0)的图象过点B,C,若△OAB的面积为6,则△ABC的面积是______.
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【题目】为弘扬中华传统文化,某校举办了学生“国学经典大赛”,比赛项目为:A.唐诗;B.宋词;C.元曲;D.论语.比赛形式分“单人组”和“双人组”.
(1)小明参加“单人组”,他从中随机抽取一个比赛项目,则抽到“唐诗”的是 事件,其概率是 ;
(2)若小亮和小丽组成一个小组参加“双人组”比赛,比赛规则是:同一小组的两名队员的比赛项目不能相同,且每人只能随机抽取一次,则小亮和小丽都没有抽到“元曲”的概率是多少?请用画树状图或列表的方法进行说明.
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