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【题目】如图,在RtABC中,∠ABC=90°AB=BC.点D是线段AB上的一点,连结CD.过点BBGCD,分别交CDCA于点EF,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连结DF,给出以下四个结论:①;②若点DAB的中点,则AFAB;③当BCFD四点在同一个圆上时,DF=DB;④若,则SABC9SBDF,其中正确的结论序号是______

【答案】①②③

【解析】

由△AFG∽△CFB,可确定结论①正确;由△ABG≌△BCD可得AG=AB=BC,进而由△AFG∽△CFB确定点FAC的三等分点,可确定结论②正确;当BCFD四点在同一个圆上时,由圆内接四边形的性质得到∠CFD=ABC=90°,得到CD为圆的直径,因为BGCD,根据垂径定理得到DF=DB,故③正确;因为DAB的三等分点,△AFG∽△CFB,所以所以SABF=SABC,又SBDF=SABF,所以SABC=12SBDF,由此确定结论④错误.

解:依题意可得BCAG

∴△AFG∽△CFB

AB=BC

.故结论①正确;

如图,

∵∠1+3=90°,∠1+4=90°,

∴∠3=4

在△ABG与△BCD中,

∴△ABG≌△BCDASA),

AG=BD

又∵BD=AD

AG=AD

∵△ABC为等腰直角三角形,

AC=AB

AG=AD=AB=BC

∵△AFG∽△BFC

FC=2AF

AF=AC=AB.故结论②正确;

BCFD四点在同一个圆上时,

由圆内接四边形的性质可得∠CFD=ABC=90°

CDBCFD四点所在圆的直径,

BGCD

DF=DB,故③正确;

AG=BD

SBDF=SABF

AF=AC

SABF=SABC

SBDF=SABC,即SABC=12SBDF.故结论④错误.

∴正确的结论有①②③;

故答案为:①②③.

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