Question

2．老师布置了这样一道作业题：
在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．
小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．
（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；
（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决老师布置的这道作业题．

Answer 1

分析 （1）如图2中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等边三角形，再证明△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B=∠AD′C，由此即可解决问题．
（2）第①种情况：当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）．第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1）．

解答 解：（1）如图2中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，…（1分）
∵∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=15°，
在△ABD和△ABD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AB}\\{∠ABD=∠ABD′}\\{BD=BD′}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，
∵BD=BD′，BD=BC，
∴BD′=BC，
∴△D′BC是等边三角形，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，
在△AD′B和△AD′C中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD′}\\{D′B=D′C}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠AD′B=$\frac{1}{2}$∠BD′C=30°，
∴∠ADB=30°．

（2）解：第①种情况：当60°＜α≤120°时，
如图3中，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC=$\frac{180-α}{2}$=90°-$\frac{α}{2}$，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=90°-$\frac{α}{2}$-β，
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=90°-$\frac{α}{2}$-β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°-$\frac{α}{2}$-β+90°-$\frac{α}{2}$=180°-（α+β），
∵α+β=120°，
∴∠D′BC=60°，
由（1）可知，△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠AD′B=$\frac{1}{2}$∠BD′C=30°，
∴∠ADB=30°．

第②种情况：当0°＜α＜60°时，
如图4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′．

同理可得：∠ABC=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{α}{2}$，
∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=β-（90°-$\frac{α}{2}$），
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=β-（90°-$\frac{α}{2}$），BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABC-∠ABD′=90°-$\frac{α}{2}$-[β-（90°-$\frac{α}{2}$）]=180°-（α+β），
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．
同（1）可证△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，
∴∠ADB=∠AD′B=150°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．