Question

1．四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=14，BC=8，若以CD为底边作等腰直角△CDE，则AE=2$\sqrt{58}$或8．

Answer 1

分析 分两种情况矩形讨论：点E在CD右侧，点E在CD左侧．过点E作GF⊥BC于F，交AD的延长线于G，过点D作DH⊥BC于H，得出四边形ABFG、四边形ABHD都是矩形，再判定△CEF≌△EDG，得出DG=FE，GE=FC，最后设EF=DG=x，根据（CF²+EF²）+（EG²+DG²）=CH²+DH²，列出方程进行求解即可．

解答 解：①如图，当点E在CD右侧时，过点E作GF⊥BC于F，交AD的延长线于G，过点D作DH⊥BC于H
∵AD∥BC，∠B=90°
∴四边形ABFG、四边形ABHD都是矩形
∴GF=AB=DH=14，∠G=∠F=∠DHC=90°，HB=AD=6，HC=8-6=2
∵△CDE是等腰直角三角形
∴DE=EC，∠CEF+∠DEG=∠EDG+∠DEG=90°
∴∠CEF=∠EDG
∴△CEF≌△EDG（AAS）
∴DG=FE，GE=FC
设EF=DG=x，则GE=FC=14-x
∵Rt△CDE中，CE²+DE²=CD²
∴（CF²+EF²）+（EG²+DG²）=CH²+DH²
即（14-x）²+x²+（14-x）²+x²=2²+14²
解得x=8
∴DG=8，EG=6
∴Rt△AEG中，AE=$\sqrt{A{G}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{1{4}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{232}$=2$\sqrt{58}$

②如图，当点E在CD左侧时，过点E作GF⊥BC于F，交AD于G，过点D作DH⊥BC于H
∵AD∥BC，∠B=90°
∴四边形ABFG、四边形ABHD都是矩形
∴GF=AB=DH=14，∠DGE=∠CFE=∠DHC=90°，HB=AD=6，HC=8-6=2
∵△CDE是等腰直角三角形
∴DE=EC，∠CEF+∠DEG=∠EDG+∠DEG=90°
∴∠CEF=∠EDG
∴△CEF≌△EDG（AAS）
∴DG=FE，GE=FC
设EF=DG=x，则GE=FC=14-x
∵Rt△CDE中，CE²+DE²=CD²
∴（CF²+EF²）+（EG²+DG²）=CH²+DH²
即（14-x）²+x²+（14-x）²+x²=2²+14²
解得x=6
∴DG=6，EG=8
∵AD=6
∴GF与AB重合
∴AE=GE=8
故答案为：2$\sqrt{58}$或8

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线，构造矩形以及全等三角形，根据勾股定理列出方程进行求解．