Question

【题目】已知：在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙0与AC边相切于点E，交BC于点F，FG⊥AC于点G．

（1）如图l，求证：GE＝GF；

（2）如图2，连接DE，∠GFC＝2∠AED，求证：△ABC为等边三角形；

（3）如图3，在（2）的条件下，点H、K、P分别在AB、BC、AC上，AK、BP分别交CH于点M、N，AH＝BK，∠PNC﹣∠BAK＝60°，CN＝6，CM＝4，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BC＝10.

【解析】

（1）由切线的定义得到直角条件，由半径相等可证OFGE为正方形；

（2）由圆周角定理可得直角条件，由2倍角关系可得60°条件，从而证明等边三角形；

（3）结合（2）的结论和条件中角的关系，需要设置角参数，标识图形从而发现BC＝BR，用勾股定理建立方程关系，求解方程即可．

解：（1）如图1，连接OE和OF

∵AC是⊙O的切线

∴OE⊥AC，

∴∠OEG＝90°

∵FG⊥AC，

∴∠FGE＝90°

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB

∵OB＝OF，

∴∠OBF＝∠OFB

∴∠OFB＝∠ACB，

∴OF∥AC

∴∠OFG+∠FGE＝180°，

∴∠OFG＝90°

∴∠OFG＝∠FGE＝∠OEG＝90°

∴四边形OFGE为矩形

∵OF＝OE，

∴四边形OFGE为正方形

∴GE＝GF

（2）如图2，连接OE，BE

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BED＝90°

∴∠OED+∠OEB＝90°

∵∠OEG＝90°，

∴∠AED+∠OED＝90°

∵∠OEG＝90°，

∴∠AED+∠OED＝90°

∴∠OEB＝∠AED

∵OB＝OE，

∴∠OBE＝∠OEB

∴∠OBE＝∠AED

∴∠AOE＝2∠OEB＝2∠AED

∵∠GFC＝2∠AED

∴∠AOE＝∠GFC

∵∠C+∠GFC＝90°，∠A+∠AOE＝90°

∴∠C＝∠A

∴BA＝BC，

∵AB＝AC

∴AB＝AC＝BC

∴△ABC为等边三角形

（3）∵△ABC为等边三角形

∴∠CAH＝∠ABK＝60°

∵AH＝BK，AC＝AB，

∴△CAH≌△ABK（SAS）

∴∠ACH＝∠BAK

∵∠KMC＝∠KAC+∠ACM

∴∠KMC＝∠KAC+∠BAK＝60°

过点C作CQ⊥AK，垂足为Q，过点B作BT⊥CH，垂足为T

∴∠AQC＝∠CTB＝90°

∵∠QAC＝∠BAC﹣∠BAK＝60°，∠TCB＝∠ACB﹣∠ACH＝60°﹣∠ACH

∴∠QAC＝∠TCB，

∵AC＝BC

∴△AQC≌△CTB（AAS）

∴QC＝BT

在Rt△MQC中，

∵CM＝4，∠QMC＝60°，sin∠QMC＝

∴QC＝6

设∠BAK＝2α＝∠ACH

∵∠PNC﹣∠BAK＝60°，

∴∠PNC＝60°+α＝∠BNH

∴∠BCH＝∠ACB﹣∠ACH＝60°﹣2α

延长NH到点R，使RT＝TN，连接BR

∴BT使RN的垂直平分线

∴BR＝BN

∴∠BNR＝∠BRN＝60°+α

∴∠CBR＝180°﹣∠BCR﹣∠CRB＝60°+α

∴∠CBR＝∠CRB＝60°+α

∴BC＝RC

设TN＝RT＝a，

∵CN＝6

∴CT＝a+6，CR＝CB＝2a+6

∵CQ＝BT＝6

在Rt△BTC中

BT2+TC2＝BC2

∴62+（a+6）2＝（2a+6）2

∴a1＝﹣6（舍），a2＝2

∴TN＝2

∴BC＝10