Question

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴上的正半轴上，BC=2AC，点B、C在反比例函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象上，则△OAB的面积为6．

Answer 1

分析 作CD⊥OA、BE⊥OA，设点C（t，$\frac{3}{t}$），由△ACD∽△ABE得BE=3CD=$\frac{9}{t}$，知点B（$\frac{t}{3}$，$\frac{9}{t}$），再由CD∥BE且$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，得OA=OD+AD=$\frac{4}{3}$t，根据三角形的面积公式求解可得．

解答 解：如图，作CD⊥OA于点D，作BE⊥OA于点E，
设点C（t，$\frac{3}{t}$），

∵CD∥BE，
∴△ACD∽△ABE，
则$\frac{CD}{BE}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AC}{AC+BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴BE=3CD=$\frac{9}{t}$，
当y=$\frac{9}{t}$时，x=$\frac{t}{3}$，即点B（$\frac{t}{3}$，$\frac{9}{t}$），
∴DE=t-$\frac{t}{3}$=$\frac{2}{3}$t，
∵CD∥BE，且$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{t}{3}$，
则OA=OD+AD=t+$\frac{t}{3}$=$\frac{4}{3}$t，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×OA•BE=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$t•$\frac{9}{t}$=6，
故答案为：6．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据相似三角形的判定与性质得出点B的坐标及OA的长度是解题的关键．