Question

如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最大值.

（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点P是直线AC上一点，且，求点P的坐标；
（3）若直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问:
①是否存在a的值，使得∠MON=90⁰？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
②猜想当∠MON＞90⁰时，a的取值范围（不写过程，直接写结论）.
（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则M，N两点间的距离为）

Answer 1

（1）（2）或（3）①存在②当时，∠MON＞90⁰。

解：（1）∵当时，取最大值，
∴ ，解得。
∴抛物线的解析式为。
令，解得 ，∴A（－3，0），B（2，0）。
令x=0，得，∴C（0，6）。
将A、C的坐标代入，得
，解得。
∴直线AC的解析式为。
（2）分两种情况：
①点P在线段AC上时，过P作PH⊥x轴，垂足为H，

∵，∴。
∵PH∥CP，∴△APH∽△ACO。
∴，即。
∴。∴。
∴。
②点P在线段CA的延长线上时，过P作PG⊥x轴，垂足为G，     

∵，∴。
∵PG∥CO，∴△APG∽△ACO。
∴，即。
∴。∴。
∴。
综上所述，点P的坐标为或。
（3）①存在。
假设存在a的值，使直线与（1）中所求的抛物线交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点（M在N的左侧），使得∠MON=90⁰，
由得。
∴。
又，，
∴。
∵∠MON=90⁰，∴。
∴。∴。
∴，即，解得或。
∴存在或使得∠MON=90⁰。
②当时，∠MON＞90⁰。
（1）根据当时，取最大值列式求出b、c，从而得到抛物线的解析式；由抛物线的解析式得到A，C的坐标，由待定系数法求出直线AC的解析式。
（2）分点P在线段AC上和两种情况讨论即可。
（3）①应用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理求解。
②如图，

当或时，∠MON=90⁰；
当或时，∠MON＜90⁰；
当时，∠MON＞90⁰。