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1. 已知:如图,在半径我4的⊙O中,AB、CD是两条直径,M我OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC,连接DE,DE=$\sqrt{15}$.
(1)求证:△AMC∽△EMB;
(2)求EM的长;
(3)求sin∠EOB的值.

分析 (1)连接A、C,E、B点,那么只需要求出△AMC和△EMB相似,即可求出结论,根据圆周角定理可推出它们的对应角相等,即可得△AMC∽△EMB;
(2)根据圆周角定理,结合勾股定理,可以推出EC的长度,根据已知条件推出AM、BM的长度,然后结合(1)的结论,很容易就可求出EM的长度;
(3)过点E作EF⊥AB,垂足为点F,通过作辅助线,解直角三角形,结合已知条件和(1)(2)所求的值,可推出Rt△EOF各边的长度,根据锐角三角函数的定义,便可求得sin∠EOB的值.

解答 解:
(1)证明:连接AC、EB,如图1,
∵∠A=∠BEC,∠B=∠ACM,
∴△AMC∽△EMB;
(2)解:∵DC是⊙O的直径,
∴∠DEC=90°,
∴DE2+EC2=DC2
∵DE=$\sqrt{15}$,CD=8,且EC为正数,
∴EC=7,
∵M为OB的中点,
∴BM=2,AM=6,
∵AM•BM=EM•CM=EM(EC-EM)=EM(7-EM)=12,且EM>MC,
∴EM=4;
(3)解:过点E作EF⊥AB,垂足为点F,如图2,
∵OE=4,EM=4,
∴OE=EM,
∴OF=FM=1,
∴EF=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$,
∴sin∠EOB=$\frac{EF}{OE}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$.

点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理,锐角三角函数定义、勾股定理的知识点,本题关键根据已知条件和图形作好辅助线,结论就很容易求证了.

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