Question

3．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D和点E均在边BC上，且∠DAE=45°，试猜想BD．DE．EC应满足的数量关系，并写出推理过程．

Answer 1

分析 把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，根据全等得出AD=AG，BD=CG，∠B=∠ACG，∠BAD=∠C，求出∠B=45°，∠ECG=90°，∠DAE=∠FEAG，证出△DAE≌△GAE，根据全等得出DE=EG即可．

解答 解：BD²+CE²=DE²，
理由是：∵AB=AC，
∴把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，
∴AD=AG，BD=CG，∠B=∠ACG，∠BAD=∠CAG，
∵在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=°，
∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=45°+45°=90°，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠EAG=∠CAE+∠CAG=∠CAE+∠BAD=90°-45°=45°，
∴∠DAE=∠EAG，
在△DAE和△GAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠DAE=∠GAE}\\{AD=AG}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△GAE（SAS），
∴DE=EG，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：EG²=CE²+CG²，
即BD²+CE²=DE²．

点评 本题考查了图形的旋转，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．