Question

16．已知a，b，c是三角形的三条边，求证：a²x²+b²+（a²+b²-c²）x=0无实根．

Answer 1

分析 求出△，然后对△进行因式分解，利用三角形三边的关系可证明△＜0，因此得到答案．

解答 证明：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a²≠0．
∴△=（a²+b²-c²）²-4a²•b²
=（a²+b²-c²-2ab）（a²+b²-c²+2ab）
=[（a-b）²-c²][（a+b）²-c²]，
=（a-b+c）（a-b-c）（a+b+c）（a+b-c），
又∵三角形任意两边之和大于第三边，
∴△＜0，
∴原方程没有实数根．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了因式分解和三角形的三边关系．