(1)如图1,在等边△ABC中,点M是边BC上的任意一点(不含端点B、C),联结AM,以AM为边作等边△AMN,联结CN.求证:∠ABC=∠ACN.
【类比探究】
(2)如图2,在等边△ABC中,点M是边BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.
【拓展延伸】
(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是边BC上的任意一点(不含端点B、C),联结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.联结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.
证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)先证△BAM≌△CAN,再由全等三角形性质得到结论;
(2)先证△BAM≌△CAN,再由全等三角形性质得到结论;
(3)先证△ABC∽△AMN,再证△BAM∽△CAN,由相似三角形性质得到结论。
试题解析:(1)∵△ABC、△AMN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM≌△CAN(SAS),
∴∠ABC=∠ACN;
(2)结论∠ABC=∠ACN仍成立.
理由如下:∵△ABC、△AMN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,
∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM≌△CAN(SAS),
∴∠ABC=∠ACN;
(3)∠ABC=∠ACN.
理由如下:
∵BA=BC,MA=MN,顶角∠ABC=∠AMN,
∴底角∠BAC=∠MAN,
∴△ABC∽△AMN,
∴ ,
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM∽△CAN,
∴∠ABC=∠ACN.
考点:三角形的全等与相似.
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