Question

13．如图，一次函数y=kx+b的图象交y轴于点B（0，3），与x轴正半轴交于点A，cos∠BAO=$\frac{4}{5}$
（1）求一次函数的解析式；
（2）OC是△AOB的角平分线，交AB于C，反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象经过点C，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由B的坐标得到OB的长，在直角三角形AOB中，根据sin∠BAO的值及OB的长，利用锐角三角函数定义求出OA的长，确定出A坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）由OC为∠AOB的平分线，且∠AOB为直角，判断得到三角形OCD为等腰直角三角形，即CD=OD=a，表示出C坐标，代入一次函数解析式求出a的值，确定出C坐标，将C坐标代入反比例解析式求出m的值即可．

解答 解：（1）∵B（0，3），
∴OB=3，
∵∠AOB=90°，cos∠BAO=$\frac{4}{5}$，
∴sin∠BAO=$\frac{3}{5}$
∴AB=5，OA=4，
∴OA=4，即A（4，0），
将A（4，0）和B（0，3）代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
则一次函数解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3；

（2）过C作CD⊥OA，设OD=a，
∵OC平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，
∵CD⊥OA，
∴△CDO为等腰直角三角形，
∴CD=OD=a，即C（a，a），
∵C点在直线AB上，
将C坐标代入直线AB得：-$\frac{3}{4}$a+3=a，
解得：a=$\frac{12}{7}$，
∴C（$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$），
将C坐标代入反比例解析式得：m=$\frac{144}{49}$．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．