Question

数学符号体现了数学的简洁美．如1²+2²+3²+…+99²+100²可记为

100

n=1

n2，又如

10

n=1

n(n+1)

=

1×2

+

2×3

+…+

9×10

+

10×11

．设A=

2012

n=1

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

，那么与A最接近的整数是（　　）

A．2011

B．2012

C．2013

D．2014

Answer 1

分析：根据新定义列出算式，然后根据二次根式的性质化简，再裂项计算即可得解．

解答：解：根据题意得：A=

1+1+ 1 4

+

1+ 1 4 + 1 9

+…+

1+ 1 20122 + 1 20132

，
∵1+1+

1

4

=

9

4

，1+

1

4

+

1

9

=

49

36

，1+

1

9

+

1

16

=

169

144

，…，1+

1

20122

+

1

20132

=

(2012×2013+1)2

(2012×2013)2

，
∴A=

3

2

+

7

6

+

13

12

+…+

2012×2013+1

2012×2013

，
=1+

1

2

+1+

1

6

+1+

1

12

+…1+

1

2012×2013

，
=2012+

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2012×2013

，
=2012+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

2012

-

1

2013

，
=2012+1-

1

2013

，
=2013-

1

2013

，
∴与A最接近的整数是2013．
故选C．

点评：本题考查了二次根式的化简求值，根据前几项的计算规律去掉根号是解题的关键，要注意裂项可是使计算更加简便．