Question

如图，⊙O的直径EF=2

3

cm，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2

3

cm．E、F、A、B四点共线．Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF所在直线由右向左匀速运动，设运动时间为t（s），当t=0s时，点B与点F重合．
（1）当t为何值时，Rt△ABC的直角边与⊙O相切？
（2）当Rt△ABC的直角边与⊙O相切时，请求出重叠部分的面积（精确到0.01）．

Answer 1

分析：（1）分两种情况，当点B运动到圆心O时，AC边与⊙O相切；当BC边与⊙O相切时，分别求得对应的t值．
（2）当点B运动到圆心O时，AC边与⊙O相切，重叠的部分为扇形，圆心角为60度，
故用扇形的面积公式可求得重叠的部分的面积；
当BC边与⊙O相切时，⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形OMGE加上△OAM．

解答：解：
（1）∵∠BAC=30°，AB=2

3

，
∴BC=

3

又∵⊙O的直径EF=2

3

，即半径为

3

，
∠ACB=90°，
∴当点B运动到圆心O时，AC边与⊙O相切．（如图1所示）（1分）

此时运动距离为FO=

3

，
∴t=

3

s． （2分）
当BC边与⊙O相切时（如图2所示），

设切点为G．连接OG，则OG⊥BC．（3分）
由已知，∠BOG=∠BAC=30°，OG=

3

，
∴BO=2． （4分）
又FO=

3

，
∴BF=2+

3

．（此步亦可利用相似求解，请参照给分）
∴此时t=2+

3

s．   （5分）
由上所述，当t=

3

或t=2+

3

秒时，Rt△ABC的直角边与⊙O相切．（6分）

（2）由图1，此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形COF． （7分）
由已知，∠COF=60°，∴S扇形COF=

πr2•60

360

=

π

2

cm2． （8分）
由图2，设AC与⊙O交于点M，
此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形OMGE加上△OAM．  （9分）
过点M作MN⊥OG于N，则MN=GC．
由（1）可知BG=1
则MN=GC=

3

-1．         （10分）
∴sin∠MON=

MN

OM

=

3 -1

3

，
∴∠MON=25°，即∠MOE=55°．     （11分）
∴S扇形OMFE=

πr2•55

360

≈1.439cm2．  （12分）
又∵OM=

3

，
∴点M到AB的距离h=OM•sin∠MOE≈1.419，（13分）
∴S_△AOM=

1

2

•OA•h≈1.229cm²
此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分的面积为S_扇形OMEF+S_△AOM≈2.67cm²．（14分）

点评：本题利用了相切的概念，扇形的面积公式，三角形的面积公式，锐角三角函数的概念，直角三角形的性质求解．