Question

1．△ABC为等边三角形．
（1）如图（1），D、E分别位于AB、AC边上，AD=CE．连接CD、BE，那么CD和BE相等吗？说明理由．
（2）如图（2），如果D、E分别在AB和CA的延长线上，AD=CE，连接CD、BE，EB的延长线交CD于Q．求证：∠CQE=60°．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形证明△ADC≌△CEB，可得结论；
（2）同理可证明△CAD≌△BCE，得∠CDA=∠BEC，根据三角形的外角定理得：∠CQE=∠CAD=60°．

解答 解：（1）如图（1）CD=BE，理由是：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
在△ADC和△CEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠A=∠ACB}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴CE=BE；
（2）如图（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠CAD=∠BCE=60°，
在△CAD和△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠CAD=∠BCE}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA=∠BEC，
∵∠ABE=∠DBQ，
∴∠DBQ+∠CDA=∠ABE+∠BEC，
∵∠CQE是△BDQ的一个外角，
∴∠CQE=∠DBQ+∠CDA，
同理可得：∠CAD=∠ABE+∠BEC，
∴∠CQE=∠CAD，
∴∠CQE=60°．

点评 本题考查了全等三角形、等边三角形的性质和判定，熟练掌握等边三角形的性质，并能从图形中看出证明哪两个三角形全等是关键，第（2）个图形中的全等关系不好找，并与外角定理相结合，证明所求的角与等边三角形的一个内角相等，从而得出结论．