Question

（1）已知：如图1，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；
（2）已知：如图2，∠A=120°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，请你找出一个条件，使线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，给出证明．

Answer 1

分析：（1）延长FD到G使GD=DF，连接BG，EG，证△BDG≌△CDF，推出BG=FC，∠C=∠GBD，求出∠EBG=90°即可；
（2）延长FD到W使WD=DF，连接BW，EW，证△BDW≌△CDF，推出BW=FC，∠C=∠WBD，求出∠EBW=60°即可．

解答：（1）证明：延长FD到G使GD=DF，连接BG，EG，
∵D为BC中点，
∴BD=DC，
∵在△BDG和△CDF中，

BD=DC ∠FDC=∠BDG DG=DF

∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG=FC，∠C=∠GBD，
∵ED⊥DF，
∴EG=EF，
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠ABC+∠GBD=90°，
即∠EBG=90°，
∴线段BE、BG、EG总能构成一个直角三角形，
∵BG=FC，EG=EF
∴线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形； 

（2）当线段FC=BE时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，
证明：延长FD到W使WD=DF，连接BW，EW，
∵D为BC中点，
∴BD=DC，
∵在△BDW和△CDF中

BD=DC ∠BDW=∠CDF DW=DF

∴△BDW≌△CDF（SAS），
∴BW=FC，∠C=∠WBD
∵ED⊥DF
∴EW=EF，
∵∠A=120°，
∴∠ABC+∠C=60°，
∴∠ABC+∠WBD=60°，
即∠EBW=60°，
∴当线段BW=BE（或BE=EW，BW=WE）时，BE、BW、EW能构成一个等边三角形；
∵EW=EF，BW=FC
∴当线段FC=BE（或BE=EF，EF=FC）时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定等知识点的应用．