Question

如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B在半径为

2

的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，点C运动的路线长是

 

．

Answer 1

考点：弧长的计算,等腰直角三角形,垂径定理

专题：

分析：作辅助线，首先求出∠DAC的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式问题即可解决．

解答：解：如图，分别连接OA、OB、OD；
∵OA=OB=

2

，AB=2，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°；
同理可证：∠OAD=45°，
∴∠DAB=90°；
∵∠CAB=60°，
∴∠DAC=90°-60°=30°，
∴当点C第一次落在圆上时，点C运动的路线长为：

30π×2

180

=

π

3

．
故答案为：

π

3

．

点评：本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数．