Question

如图，在平面直角坐标系中，点M在X轴上，⊙M与Y轴相切于O点，过点A（2，0）作⊙M的切线，切点为B点，已知：sin∠BAM=

1

2

．
（1）求⊙M的半径r；
（2）求点B的坐标；
（3）若抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、M三点，求此抛物线的解析式；
（4）在y轴上是否存在点C，使△ABC为直角三角形？若存在，请求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可连接BM，根据sin∠A的正弦值，可得出BM：AM=1：2，也就是AM=2BM=OM+OA=BM+OA，因此BM=OA，即可求出r的值．
（2）可过B作BN⊥AM于N，那么ON就是B的横坐标的绝对值，BN就是B的纵坐标．在直角三角形BMN中，已求的了半径的长，又可求得∠BMA=60°，即可求出BN，MN的长，也就求出了ON的长，进而可得出B点的坐标．
（3）已经求的了A，B，M的坐标，可用待定系数法求二次函数的解析式（可用交点式的二次函数通式来设二次函数）
（4）要分三种情况进行讨论：
①当∠ABC=90°时，那么C点就在BM所在直线上，可在直角三角形MOC中，根据OM和∠CMO的度数求出OC的长，即可得出C的坐标．
②当∠BAC=90°时，那么∠OAC=60°，在直角三角形OAC中可根据OA的长求出OC的长，也就得出了C点的坐标
③当∠BCA=90°时，那么AB是斜边，可设出C的坐标，然后用坐标系中两点的距离公式分别表示出AC²，BC²，AB²，然后根据勾股定理即可求出C的坐标．

解答：解：（1）连接BM，则∠MBA=90°．
直角三角形MBA中，sin∠A=

BM

MA

=

1

2

，BM=r，MA=OM+AO=r+2．
因此

r

x+2

=

1

2

，r=2．

（2）过B作BN⊥AM于N，
∵sin∠A=30°
∴∠A=∠MBN=30°，∠BMN=60°
直角三角形BMN中，BM=2，∠BMN=60°，
因此MN=1，BN=

3

．
∴ON=OM-MN=1
因此B的坐标是（-1，

3

）．

（3）由于OM=2，
因此M的坐标是（-2，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x+2），
由于抛物线过B（-1，

3

）
可得：a（1-4）=

3

，a=-

3

3

因此抛物线的解析式为y=-

3

3

x²+

4 3

3

．

（4）可分三种情况：
①当∠ABC=90°时，C在直线BM上，
直角三角形MCO中，∠CMO=60°，OM=2，
因此OC=2

3

，即C点的坐标为（0，2

3

）
②当∠BAC=90°时，那么∠OAC=90°-∠BAM=60°，直角三角形OAC中
OC=OA•tan60°=2

3

，即C点的坐标为（0，-2

3

）
③当∠BCA=90°时，设C点坐标为（0，y），则
AC²=4+y²，BC²=（

3

-y）²+1，AB²=3+9=12，
根据勾股定理可得：BC²+AC²=AB²
4+y²+（

3

-y）²+1=12，
解得y=

3 ± 11

2

，
综上所述，C点的坐标应该是（0，±2

3

）和（0，

3 ± 11

2

）．

点评：本题结合圆，三角形的知识考查了二次函数的综合应用，结合几何知识，利用数形结合的思想求解是这类题的基本思路．要注意（4）中要分情况进行讨论，不要漏解．