Question

12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx与抛物线y=ax²+c交于A（8，6）、B两点，点B的横坐标为-2．
（1）求直线AB和抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的平行线，与直线AB交于点C，连接PO，设点P的横坐标为m．
①若点P在x轴上方，当m为何值时，△POC是等腰三角形；
②若点P在x轴下方，设△POC的周长为p，求p关于m的函数关系式，当m为何值时，△POC的周长最大，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线和直线解析式；
（2）①当△POC是等腰三角形时，判断出只有OC=PC，设出点P的坐标用OC=PC建立方程组求解即可；
②先表示出OC，OP，PC，然后建立三角形POC的周长和m的函数关系式，确定出最大值．

解答 解：（1）∵直线y=kx经过点A（8，6）；
∴8k=6，
∴k=$\frac{3}{4}$，
∴直线解析式为y=$\frac{3}{4}$x，
∵点B在此直线上，点B的横坐标为-2．
∴点B的纵坐标为-$\frac{3}{2}$，
∴（-2，-$\frac{3}{2}$），
∵抛物线y=ax²+c交于A（8，6）、B（-2，-$\frac{3}{2}$）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{64a+c=6}\\{4a+c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{8}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{8}$x²-2；
（2）设P（m，n），则n=$\frac{1}{8}$m²-2；
∵过点P作x轴的平行线，与直线AB交于点C，
∴点C（$\frac{4}{3}$n，n）；
∴PC=m-$\frac{4}{3}$n，
①当点P在x轴上方时，
∴m＞0，∠OCP是钝角，
∴OC＜OP，PC＜OP，
∵△POC是等腰三角形，
∴OC=CP，
∵OC=$\frac{5}{3}$n，
∴m-$\frac{4}{3}$n=$\frac{5}{3}$n，
∴m=3n，
∵n=$\frac{1}{8}$m²-2；
∴m=3（$\frac{1}{8}$m²-2）；
∴m=$\frac{4+4\sqrt{10}}{3}$或m=$\frac{4-4\sqrt{10}}{3}$（舍），
∴当m=$\frac{4+4\sqrt{10}}{3}$时，△POC是等腰三角形；
②当点P在x轴下方时，-2＜m＜4，
∴n＜0，
∵P（m，n），则n=$\frac{1}{8}$m²-2；点C（$\frac{4}{3}$n，n）；
∴OC=-$\frac{5}{3}$n，OP=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{8}{m}^{2}-2）^{2}}$=$\frac{1}{8}$m²+2；
∵PC=m-$\frac{4}{3}$n，n=$\frac{1}{8}$m²-2；
∴l=OP+PC+OC
=$\frac{1}{8}$m²+2+m-$\frac{4}{3}$n+（-$\frac{5}{3}$n）
=$\frac{1}{8}$m²+m-3n+2
=$\frac{1}{8}$m²+m-3（$\frac{1}{8}$m²-2）+2
=-$\frac{1}{4}$（m-2）²+9；
∴当m=2时，l_最大=9
∴当m=2时，△POC的周长最大，最大值是9．

点评 此题二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平面内两点间距离公式，等腰三角形的性质，三角形的周长，极值的确定，解本题的关键是表示出PC，OC，OP的长．