Question

【题目】在正方形ABCD的外侧，作△ADE和△DCF，连接AF、BE．(友情提醒：正方形的四条边都相等，即AB＝BC＝CD＝DA；四个内角都是90°，即∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°)

（1）如图①，若△ADE和△DCF是等边三角形，求证：AF＝BE，AF⊥BE；

（2）如图②，若△ADE和△DCF为一般三角形，其中AE＝DF，ED＝FC，则第（1）问中的结论仍然成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）成立，证明见详解

【解析】

（1）根据正方形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理证明△BAE≌△ADF，根据全等三角形的性质得出结论；

（2）根据边边边定理证明△EAD≌△FDC．根据边角边定理证明△BAE≌△ADF．则BE=AF，∠ABE=∠DAF，与（1）的证明方法相似，可得结论．

解：（1）AF=BE；AF⊥BE．
理由如下：如图①所示：

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD，
∵△ADE和△DCF是等边三角形，
∴∠DAE=∠CDF=60°，AE=AD，DF=CD，
∴AE=DF，∠BAE=∠ADF=150°，
在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AF⊥BE；
故答案为：AF=BE，AF⊥BE．

（2）所画图形如图②，第（1）问的结论成立，理由如下：

②
在△AED和△DFC中，

∴△AED≌△DFC（SSS），
∴∠EAD=∠FDC．
∴∠BAD+∠EAD=∠ADC+∠FDC．即∠BAE=∠ADF．
在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴AF=BE，
∴∠ABE=∠DAF．
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AF⊥BE．