Question

20£®Èçͼ£¬ÔÚµÈÑüÖ±½ÇÈý½ÇÐÎABCÖУ¬¡ÏBAC=90¡ã£¬AC=8$\sqrt{2}$cm£¬AD¡ÍBCÓÚµãD£®µãP´ÓµãA³ö·¢£¬ÑØA¡úC·½ÏòÒÔ$\sqrt{2}$cm/sµÄËÙ¶ÈÔ˶¯µ½µãCÍ£Ö¹£®ÔÚÔ˶¯¹ý³ÌÖУ¬¹ýµãP×÷PQ¡ÎAB½»BCÓÚµãQ£¬ÒÔÏ߶ÎPQΪ±ß×÷µÈÑüÖ±½ÇÈý½ÇÐÎPQM£¬ÇÒ¡ÏPQM=90¡ã£¨µãM£¬CλÓÚPQÒì²à£©£®ÉèµãPµÄÔ˶¯Ê±¼äΪx£¨s£©£¬¡÷PQMÓë¡÷ADCÖصþ²¿·ÖµÄÃæ»ýΪy£¨cm²£©
£¨1£©µ±µãMÂäÔÚABÉÏʱ£¬ÇóxµÄÖµ£»
£¨2£©µ±µãMÂäÔÚADÉÏʱ£¬PMÓëCDÖ®¼äµÄÊýÁ¿¹ØϵÊÇPM=$\frac{2}{3}$CD£¬´ËʱxµÄÖµÊÇ$\frac{16}{3}$£»
£¨3£©Çóy¹ØÓÚxµÄº¯Êý½âÎöʽ£¬²¢Ð´³ö×Ô±äÁ¿xµÄÈ¡Öµ·¶Î§£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©µ±µãMÂäÔÚABÉÏʱ£¬ËıßÐÎAMQPÊÇÕý·½ÐΣ¬´ËʱµãDÓëµãQÖغϣ¬Óɴ˼´¿É½â¾öÎÊÌ⣮
£¨2£©Èçͼ1ÖУ¬µ±µãMÂäÔÚADÉÏʱ£¬×÷PE¡ÍQCÓÚE£¬ÏÈÖ¤Ã÷DQ=QE=EC£¬ÓÉPE¡ÎAD£¬µÃ$\frac{PA}{AC}=\frac{DE}{DC}=\frac{2}{3}$£¬Óɴ˼´¿É½â¾öÎÊÌ⣮
£¨3£©·ÖÈýÖÖÇéÐ΢ٵ±0£¼x¡Ü4ʱ£¬Èçͼ2ÖУ¬ÉèPM¡¢PQ·Ö±ð½»ADÓÚµãE¡¢F£¬ÔòÖصþ²¿·ÖΪ¡÷PEF£¬
¢Úµ±4£¼x¡Ü$\frac{16}{3}$ʱ£¬Èçͼ3ÖУ¬ÉèPM¡¢MQ·Ö±ð½»ADÓÚE¡¢G£¬ÔòÖصþ²¿·ÖΪËıßÐÎPEGQ£®
¢Ûµ±$\frac{16}{3}$£¼x£¼8ʱ£¬Èçͼ4ÖУ¬ÔòÖغϲ¿·ÖΪ¡÷PMQ£¬·Ö±ð¼ÆËã¼´¿É½â¾öÎÊÌ⣮

½â´ð ½â£º£¨1£©µ±µãMÂäÔÚABÉÏʱ£¬ËıßÐÎAMQPÊÇÕý·½ÐΣ¬´ËʱµãDÓëµãQÖغϣ¬
¡àAP=CP=4$\sqrt{2}$£¬ËùÒÔx=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=4£®
¹Ê´ð°¸Îª4£®
£¨2£©Èçͼ1ÖУ¬µ±µãMÂäÔÚADÉÏʱ£¬×÷PE¡ÍQCÓÚE£®

¡ß¡÷MQP£¬¡÷PQE£¬¡÷PEC¶¼ÊǵÈÑüÖ±½ÇÈý½ÇÐΣ¬MQ=PQ=PC
¡àDQ=QE=EC£¬PM¡ÎCD£¬
¡à$\frac{PM}{CD}=\frac{AP}{AC}$
¡ßPE¡ÎAD£¬
¡à$\frac{PA}{AC}=\frac{DE}{DC}=\frac{2}{3}$£¬
¡à$\frac{PM}{CD}=\frac{2}{3}$£¬
¡àPM=$\frac{2}{3}$CD£¬
¡ßAC=8$\sqrt{2}$£¬
¡àPA=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$£¬
¡àx=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$¡Â$\sqrt{2}$=$\frac{16}{3}$£®
¹Ê´ð°¸Îª£ºPM=$\frac{2}{3}$CD£¬$\frac{16}{3}$£®
£¨3£©¢Ùµ±0£¼x¡Ü4ʱ£¬Èçͼ2ÖУ¬ÉèPM¡¢PQ·Ö±ð½»ADÓÚµãE¡¢F£¬ÔòÖصþ²¿·ÖΪ¡÷PEF£¬

¡ßAP=$\sqrt{2}$x£¬
¡àEF=PE=x£¬
¡ày=S_¡÷PEF=$\frac{1}{2}$•PE•EF=$\frac{1}{2}$x²£®
¢Úµ±4£¼x¡Ü$\frac{16}{3}$ʱ£¬Èçͼ3ÖУ¬ÉèPM¡¢MQ·Ö±ð½»ADÓÚE¡¢G£¬ÔòÖصþ²¿·ÖΪËıßÐÎPEGQ£®

¡ßPQ=PC=8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x£¬
¡àPM=16-2x£¬¡àME=PM-PE=16-3x£¬
¡ày=S_¡÷PMQ-S_¡÷MEG=$\frac{1}{2}$£¨8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x£©²-$\frac{1}{2}$£¨16-3x£©²=-$\frac{7}{2}$x²+32x-64£®

¢Ûµ±$\frac{16}{3}$£¼x£¼8ʱ£¬Èçͼ4ÖУ¬ÔòÖغϲ¿·ÖΪ¡÷PMQ£¬
¡ày=S_¡÷PMQ=$\frac{1}{2}$PQ²=$\frac{1}{2}$£¨8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x£©²=x²-16x+64£®
×ÛÉÏËùÊöy=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}£¨0£¼x¡Ü4£©}\\{-\frac{7}{2}{x}^{2}+32x-64£¨4£¼x¡Ü\frac{16}{3}£©}\\{{x}^{2}-16x+64£¨\frac{16}{3}£¼x£¼8£©}\end{array}\right.$£®

µãÆÀ ´ËÌâÊÇÈý½ÇÐÎ×ÛºÏÌ⣬Ö÷ÒªµÈÑüÖ±½ÇÈý½ÇÐεÄÐÔÖÊ¡¢·Ö¶Îº¯Êý¡¢Èý½ÇÐÎÃæ»ýµÈ֪ʶ£»½â£¨1£©¹Ø¼üÊÇÇó³ö$\frac{AP}{AC}=\frac{2}{3}$£¬½â£¨3£©µÄ¹Ø¼üÊÇÕýÈ·»­³öͼÐΣ¬Ñ§»á·ÖÀàÌÖÂÛ£¬ÊôÓÚÖп¼Ñ¹ÖáÌ⣮