Question

21、如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．

Answer 1

分析：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．

解答：解：方法一：∵AE∥FC．
∴∠EAC=∠FCA．（2分）
又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF．（5分）
∴EO=FO．
又EF⊥AC，
∴AC是EF的垂直平分线．（8分）
∴AF=AE，CF=CE，
又∵EA=EC，
∴AF=AE=CE=CF．
∴四边形AFCE为菱形．（10分）

方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．（5分）
∴AE=CF．
∴四边形AFCE是平行四边形．（8分）
又∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴四边形AFCE是菱形．（10分）

方法三：同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形．（8分）
又EF⊥AC，（9分）
∴四边形AFCE为菱形．（10分）

点评：本题利用了中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．