Question

已知：如图，EF是矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线，EF与对角线AC及边AD、BC分别交于点O、E、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）如果FE=2ED，求AE：ED的值．

Answer 1

分析：（1）要证四边形AFCE是菱形，只需通过定义证明四边相等即可．此题实际是对判定菱形的方法“对角形垂直平分的四边形为菱形”的证明；
（2）根据平行四边形的对角线互相平分知，FE=2EO，又∵FE=2ED，可证Rt△OEC≌Rt△DEC，
又∠D=90°，∴EC=

ED

sin30°

=2ED，∴AE=2ED，即AE：ED=2：1=2．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠2．（1分）
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF（1分）
∴四边形AFEC是平行四边形．（1分）
又EF⊥AC，
∴四边形AFEC是菱形；（1分）

（2）解：由（1）知：FE=2EO，
又∵FE=2ED，
∴EO=ED，（1分）
又EO⊥AC，ED⊥DC，
∴∠3=∠4，（1分）
由（1）知，四边形AFEC是菱形，
∴AE=EC，∠2=∠3，
∴∠2=∠3=∠4=

1

3

∠BCD=30°（1分）
又∠D=90°，
∴EC=2ED（1分）
∴AE=2ED，即AE：ED=2：1=2．（1分）

点评：本题利用了：1、中垂线的性质；2、矩形的性质；3、全等三角形的判定和性质；4、菱形的判定和性质；5、正弦的概念．