考点:二次根式的化简求值
专题:计算题
分析:已知条件比较复杂,因此,需要从已知条件着手,将已知条件变形得出所求式子的结构,提供如下四种变形的方法供参考.
解答:解:
解法一:因为8a+
=
平方得:64a
2+16a
+2=16
+2
由此得:4a
2+a
-
=0
设x=
+a
2,
y=
-a
2,
得xy=a+1
x-y=2a
2=
=
=
(1-a)
因此x与y是关于t的方程
t
2-
(1-a)t-(a+1)=0的两根,
有t
1、2=
\=
,则t
1=
,t
2=-
因为x>y且a<1,则
<
,
因此x=
,即a
2+
=
;
解法二:由已知条件得(a+
)
2=
(
+
)
∴a
2+
a=
,∴
a
2+
a-
=0,
∴
-
a
2-
=0 ①
这表明
是关于t的方程t
2-a
2t-
=0 ②
的正实根,因此
=
(a
2+
)
∴a
2+
=
;
解法三:由已知得:a+
=
两边平方,得:a
2+
a+
=
+
移项,得:a
2=
(1-a) ①
则a
4=
(1-a)
2②
∴a
2+
=
(1-a)+
=
(1-a)+
=
(1-a)+
=
(1-a+a+3)=
;
解法四:由已知得:a+
=
两边平方,得:a
2+
a+
=
+
∴
a=-a
2+
,
两边乘以2
,得a=-2
a
2+1
两边加上a
4+1,得
a
4+1+a=-2
a
2+a
4+2
即a
4+a+1=(
-a
2)
2,
显然0<a<1,0<a
2<1,
∴
-a
2>0,
∴
=
-a
2,
∴a
2+
=
.
点评:本题考查了二次根式的化简求值.解法二巧妙地利用常数与变量的相互转化,把①中的
看成变量,a看成常量,则①转化为②,即得关于t的方程:t
2-a
2t-
=0,其中t是变量,a是常量,从而求解.