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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠F=∠B=45°，AC=8cm，CF=10cm．如图②，△DEF从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以
    3
    2
    		2
    cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t≤5）．解答下列问题：
    （1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上（结果精确到个位）？
    （2）连接PE，四边形APEC的面积为S，用含有t的数学表达式表示S．当t为何值时，S的值为23；
    （3）当t=
    4
    4
    ，面积S最小，S的最小值是
    20
    20
    ．（提示：参考配方法）
    分析：（1）由条件可以得出AC=8
    		2
    ，当AP=AQ时由题意可以得出以AP=8
    		2
    -
    3
    2
    		2
    t，AQ=8-t，从而建立等两关系就可以求出t值．
    （2）作PG⊥BC于G，则PG=
    3
    2
    t，BE=8-t，S=S△ABC-S△PBE，就可以用t表示出S，把S=23代入解析式就可以求出t值．
    （3）将（2）的解析式转化为顶点式，求出顶点坐标，就求出了t值和S的最小值．
    解答：解：（1）∵∠ACB=∠EDF=90°，∠F=∠B=45°，
    ∴∠A=∠DEF=∠EQC=45°，
    ∴∠A=∠B=∠DEF=∠F=∠EQC，
    ∴AC=BC=8，DE=DF，QC=EC．
    在Rt△ABC和Rt△DEF中，由勾股定理，得
    AB=8
    		2
    ，DE=DF=5
    		2
    ．
    ∵PB=
    3
    2
    		2
    t，
    ∴AP═8
    		2
    -
    3
    2
    		2
    t，
    ∵EC=t，
    ∴CQ=t，
    ∴AQ=8-t，
    ∴8
    		2
    -
    3
    2
    		2
    t=8-t，
    解得：t≈3．
    （2）作PG⊥BC于G，且∠B=45°
    ∴PG=BG，
    ∵PB=
    3
    2
    		2
    t，由勾股定理，得
    PG=
    3
    2
    t，
    ∵CE=t，
    ∴BE=8-t．
    ∴S△BPE=
    3
    2
    t(8-t)
    2
    =-
    3
    4
    t2+6t，
    S=
    8×8
    2
    -（-
    3
    4
    t2+6t），
    =
    3
    4
    t2-6t+32
    当S=23时，23=
    3
    4
    t2-6t+32，
    解得t=2或6，
    ∵0＜t≤5，
    ∴t=2．
    （3）∵S=
    3
    4
    t2-6t+32
    ∴S=
    3
    4
    （t-4）2+20
    ∴t=4时，S最小=20．
    故答案为：4，20．
    点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用，三角形的面积的运用，二次函数的最值的运用等知识点．
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    （1）用尺规确定并标出圆心O；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
    （2）求证：∠E=∠ACB；
    （3）若AD=1，tan∠DAC=
    		2
    2
    ，求BC的长．

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