Question

（2012•仙居县二模）如图，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一个动点，连接AC、BC，∠C=60°，⊙O的半径为2，则△ABC面积的最大值是（　　）

• A．3

  3

• B．2

  3

• C．

  3

  2

  3

• D．

  3

Answer 1

分析：过C作CM⊥AB于M，要使△ACB的面积最大，只要CM取最大值即可，画出CM，求出等边三角形ABC，求出AB和CM，关键三角形的面积公式求出即可．

解答：解：过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ACB的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM=BM（垂径定理），
∴AC=BC，
∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
设AB=BC=AC=a，
则AM=BM=

1

2

a，由勾股定理得：CM=

3

2

a，
在Rt△OBM中，OB=2，OM=

3

2

a-2，bm=

1

2

a，由勾股定理得：（

3

2

a-2）²+（

1

2

a）²=2²，
a=2

3

，
即AB=2

3

，CM=3，
则△ABC的面积是

1

2

×AB×CM=

1

2

×2

3

×3=3

3

，
故选A．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，垂径定理等等知识点的综合运用．